问题

设 $x>0$, $\pi(x)$ 指不超过 $x$ 的所有素数的个数. 若记 $p_i$ 为第 $i$ 个素数, 则 $\pi(x)=\max\{i|p_i\leq x\}$.

• $\pi(n)<2\log 2\cdot\frac{n}{\log n}$, 对每个大于1的整数 $n$.
• 当 $x\rightarrow+\infty$ 时, $\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}$.
• 存在常数 $A,B > 0$, 使得对每个大于1的整数 $n$, 有
  \[ An\log n < p_n < B n\log n. \]

黎曼假设(Riemann Hypothesis)等价于

\[
\pi(x)=\text{Li}(x)+O(\sqrt{x}\ln x)
\]

其中

\[
\mathrm{Li}(x):=\int_{2}^{x}\frac{1}{\ln t}dt=\text{li}(x)-\text{li}(2).
\]

\[
\mathrm{Li}(x)\sim\frac{x}{\ln x}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k!}{(\ln x)^k}=\frac{x}{\ln x}+\frac{x}{(\ln x)^2}+\frac{2!\cdot x}{(\ln x)^3}+\frac{3!\cdot x}{(\ln x)^4}+\frac{4!\cdot x}{(\ln x)^5}+\cdots
\]

$\pi(x)$ 与 $\mathrm{Li}(x)$ 之间差值的估计也可以表述为

\[
\pi(x)=\sum_{p\leqslant x}1=\int_{2}^{x}\frac{1}{\ln t}dt+O(xe^{-c\sqrt{\ln x}})
\]