[GTM137/Chapter1/Sec1][Def] 调和函数
这里的调和函数是定义在欧氏空间中某个开子集上的. 记
定义 1. (
定义 2. 称定义于某个集合
记
最简单的非常值调和函数的例子是坐标函数
例. 令
通过微分可以获得更多调和函数的例子. 注意到对于光滑函数,
因此,
我们将证明每个调和函数都是无穷次可微的, 于是, 调和函数的任意偏导函数仍是调和函数.
事实上,
Claim 1.
Claim 2.
注意 Claim 1 可以作为 Claim 2 的推论, 因为
函数
这暗示了在平面上的调和函数理论与高维时的调和函数理论有重大差别.
另一个主要的区别来自于平面上全纯函数与调和函数的联系:
而在高维时没有相应的结果.
翻译自[1] [GTM137] Chapter 1 Basic Properties of Harmonic Functions.
Section 1. Definitions and Examples.
References.
[1] Sheldon Axler, Paul Bourdon, Wade Ramey, Harmonic Function Theory. (Second Edition)