球调和函数(Spherical Harmonics)

球谐函数

Spherical Harmonics | Brilliant Math & Science Wiki

调和函数的均值性质

调和函数的许多基本性质来自于下面的 Green 第二恒等式

\[
\int_{\Omega}(u\Delta v-v\Delta u)\mathrm{d}V=\int_{\partial\Omega}(uD_{\vec{n}} v-vD_{\vec{n}} u)\mathrm{d}S.\qquad(1.1)
\]

(我们经常用到的是 $\Omega$ 是球($B(p,r)$)的特殊情形. )

这里 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的一个有界开集, 有光滑的边界, 并且 $u,v$ 是 $\overline{\Omega}$ 某个邻域上的 $C^2$-函数. ($\overline{\Omega}$ 指 $\Omega$ 在 $\mathbb{R}^n$ 中的闭包.)

$V=V_n$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的 Lebesgue 体积测度, $S$ 表示 $\partial\Omega$ 上的面积测度. (附录(Appendix) A 中有关于球和球面上积分的讨论.)

记号 $D_{\vec{n}}$ 指代关于外法向量 $\vec{n}$ 的方向导数. (注意下面的 $D_n$ 指 $\partial_{x_n}=\frac{\partial}{\partial x_n}$.)  于是对于 $\zeta\in\partial D$, 

\[
(D_{\vec{n}}u)(\zeta)=(\nabla u)(\zeta)\cdot\vec{n}(\zeta),
\]

其中 $\nabla u=(D_1 u,\ldots, D_n u)$ 指 $u$ 的梯度(gradient), $\cdot$ 表示通常的欧氏内积.

 

Green 恒等式 (1.1) 可由高等微积分中的熟知的散度定理推出.

\[
\int_{\Omega}\mathrm{div}\vec{W}\mathrm{d}V=\int_{\partial\Omega}\vec{W}\cdot\vec{n}\mathrm{d}S\qquad(1.2)
\]

其中 $\vec{W}=(w_1,\ldots,w_n)$ 是 $\overline{\Omega}$ 的某个邻域上的 $\mathbb{C}^n$-值函数, 即光滑复值向量场(a $\mathbb{C}^n$-valued function whose components are continuously differentiable).

$\vec{W}$ 的散度定义为

\[\mathrm{div}\vec{W}:=D_1 w_1+\cdots+D_n w_n.\]

为从散度定理得到 Green 恒等式, 只需令 $\vec{W}=u\nabla v-v\nabla u$, 代入计算即可(详见问题642).

 

当 $u$ 是调和函数, $v\equiv 1$, 则由 (1.1) 得到下面 Green 恒等式的一个有用形式:

\[
\int_{\partial\Omega}D_{\vec{n}}u\mathrm{d}S=0.
\]

Green 恒等式是证明均值性质的关键. 在讲均值性质之前, 我们介绍几个记号: 

$B(a,r)=\{x\in\mathbb{R}^n : |x-a| < r\}$ 是欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ (准确地, 应该是 $\mathbb{E}^n=(\mathbb{R}^n,d)$) 中以 $a$ 为圆心, $r$ 为半径的开球; 其闭包是闭球 $\overline{B}(a,r)$; 单位球 $B(0,1)$ 被简记为 $B$, 其闭包记为 $\overline{B}$. 当维数很重要需要指明时, 就写为 $B_n$. $B$ 的边界, 单位球面被记为 $S$; $S$ 上的正则化面积测度(normalized surface-area measure) 被记为 $\sigma$ (即使得 $\sigma(S)=1$). 测度 $\sigma$ 是 $S$ 上唯一的 Borel probability measure, 即是旋转不变的. 所谓测度是旋转不变是指 $\sigma(T(E))=\sigma(E)$ 对每个 Borel 集 $E\subset S$ 和每个正交变换 $T$ 都成立.

 

1.4 均值性质.

若 $u$ 是 $\overline{B}(a,r)$ 上的调和函数, 则 $u(a)$ 等于 $u$ 在 $\partial B(a,r)$ 上的平均值. 确切的,

\[
u(a)=\int_S u(a+r\zeta)\mathrm{d}\sigma(\zeta).
\]

证明:  首先假设 $n > 2$.  不失一般性, 我们可以假设 $B(a,r)=B$. 固定某个 $\varepsilon\in(0,1)$. 考虑 $\Omega=\{x\in\mathbb{R}^n : \varepsilon < |x| < 1\}$, 并设 $v(x)=|x|^{2-n}$. 对 $\Omega$ 和 $u$, $v$ 应用 Green 第二恒等式. 注意 $v(x)$ 是 $\mathbb{R}^n-\{0\}$ 上的调和函数(见问题2651). $\partial\Omega$ 有两部分组成, $S=\{x\in\mathbb{R}^n : |x|=1\}$ 和 $\varepsilon S$. 这里 $x\in S$ 处的单位外法向量 $\hat{v}$ 或 $\vec{n}$ 就是 $x$; 而 $\varepsilon S$ 的单位外法向量指向球心. 因此 $\int_{\partial\Omega}=\int_S-\int_{\varepsilon S}$.

\[
\int_{\Omega}(u\Delta v-v\Delta u)\mathrm{d}V=\int_{\Omega}(u\cdot 0-v\cdot 0)\mathrm{d}V=0.
\]

Green 第二恒等式的另一端, 注意到 $v(x)=|x|^{2-n}$, 故 $v\Bigr|_{S}=1$, $v\Bigr|_{\varepsilon S}=\varepsilon^{2-n}$.

\[
\begin{split}
&\int_{\partial\Omega}(uD_{\vec{n}}v-vD_{\vec{n}}u)\mathrm{d}S\\
=&\int_{S}(uD_{\vec{n}}v-vD_{\vec{n}}u)\mathrm{d}S-\int_{\varepsilon S}(uD_{\vec{n}}v-vD_{\vec{n}}u)\mathrm{d}S\\
=&\int_{S}(uD_{\vec{n}}|x|^{2-n}-D_{\vec{n}}u)\mathrm{d}S-\int_{\varepsilon S}(uD_{\vec{n}}|x|^{2-n}-\varepsilon^{2-n}D_{\vec{n}}u)\mathrm{d}S\\
=&\int_{S}uD_{\vec{n}}|x|^{2-n}\mathrm{d}S-\int_{\varepsilon S}uD_{\vec{n}}|x|^{2-n}\mathrm{d}S-\biggl[\int_{S}D_{\vec{n}}u\mathrm{d}S-\int_{\varepsilon S}\varepsilon^{2-n}D_{\vec{n}}u\mathrm{d}S\biggr]\\
=&\int_{S}uD_{\vec{n}}|x|^{2-n}\mathrm{d}S-\int_{\varepsilon S}uD_{\vec{n}}|x|^{2-n}\mathrm{d}S
\end{split}
\]

最后一个等号是因为上一行中括号中的两项是0, 应用了 $\Omega$ 上的调和函数 $u$, 其沿边界外法向量的方向导数在边界上的积分为0. ($\int_{\partial\Omega}D_{\vec{n}}u\mathrm{d}S=0$.)

下面计算剩下两项的积分. 这里必须要注意, $v(x)$ 限制在 $S$ 上等于常数 1, 不代表 $D_{\vec{n}}v=D_{\vec{n}}|x|^{2-n}=0$. 事实上, $D_{\vec{n}}|x|^{2-n}=\nabla |x|^{2-n}\cdot\hat{v}$, 而

\[
\begin{split}
\nabla |x|^{2-n}&=(\partial_{x_1},\ldots,\partial_{x_n})(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)^{\frac{2-n}{2}}\\
&=\frac{2-n}{2}(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)^{\frac{2-n}{2}-1}\cdot(2x_1,2x_2,\ldots,2x_n)\\
&=(2-n)(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)^{\frac{-n}{2}}\cdot(x_1,x_2,\ldots,x_n)\\
&=(2-n)|x|^{-n}\vec{x}
\end{split}
\]

从而, 

\[D_{\vec{n}}|x|^{2-n}=\nabla |x|^{2-n}\cdot\hat{v}\]

当限制在 $S$ 上, $\hat{v}=\vec{x}$, 从而

\[D_{\vec{n}}|x|^{2-n}=\nabla |x|^{2-n}\cdot\hat{v}=(2-n)|x|^{-n}\vec{x}\cdot\vec{x}=(2-n)|x|^{-n}|x|^2=(2-n)|x|^{2-n}\]

值为 $2-n$.

当限制在 $\varepsilon S$ 上时, 注意此时 $\hat{v}$ 仍是单位向量, 且 $\hat{v}=\frac{\vec{x}}{\varepsilon}$, 故

\[D_{\vec{n}}|x|^{2-n}=\nabla |x|^{2-n}\cdot\hat{v}=(2-n)|x|^{-n}\vec{x}\cdot\frac{\vec{x}}{\varepsilon}=\frac{2-n}{\varepsilon}|x|^{-n}|x|^2=\frac{2-n}{\varepsilon}|x|^{2-n},\]

值为 $(2-n)\varepsilon^{1-n}$.

于是

\[
\begin{split}
0=&\int_{S}uD_{\vec{n}}|x|^{2-n}\mathrm{d}S-\int_{\varepsilon S}uD_{\vec{n}}|x|^{2-n}\mathrm{d}S\\
=&\int_{S}u\cdot(2-n)\mathrm{d}S-\int_{\varepsilon S}u\cdot(2-n)\varepsilon^{1-n}\mathrm{d}S\\
=&(2-n)\int_{S}u\mathrm{d}S-(2-n)\varepsilon^{1-n}\int_{\varepsilon S}u\mathrm{d}S
\end{split}
\]

推出

\[
\int_{S}u\mathrm{d}S=\varepsilon^{1-n}\int_{\varepsilon S}u\mathrm{d}S
\]

注意这里等式两端的体积元 $\mathrm{d}S$ 并不一样. 右端 $\int_{\varepsilon S}u(x)\mathrm{d}S$ 中的体积元 $\mathrm{d}S$ 是 $\varepsilon S$ 上的体积元, 乘上系数 $\varepsilon^{1-n}$ 后即为单位球面 $S$ 上的体积元. (也就是说, 右端 $\varepsilon^{1-n}\mathrm{d}S=\mathrm{d}S_1$, 这里不妨用 $\mathrm{d}S_1$ 表示单位球面的体积元, 它和左边的 $\mathrm{d}S$ 是一样的.) 于是得到

\[
\int_{S}u\mathrm{d}S_1=\int_{\varepsilon S}u\mathrm{d}S_1
\]

接着, 进行换元. 令 $x=\varepsilon\zeta$, 这里 $\zeta\in S$, 则

\[
\int_{\varepsilon S}u(x)\mathrm{d}S=\int_{S}u(\varepsilon\zeta)\mathrm{d}\sigma(\zeta).
\]

因此有

\[
\int_{S}u\mathrm{d}S=\int_{S}u(\varepsilon\zeta)\mathrm{d}\sigma(\zeta).
\]

令 $\varepsilon\rightarrow 0$, 并利用 $u(x)$ 在原点处的连续性, 得

\[
\int_{S}u(\varepsilon\zeta)\mathrm{d}\sigma(\zeta)\quad\rightarrow\quad\int_{S}u(0)\mathrm{d}S=u(0).
\]

即得到了公式

\[
u(0)=\int_{S}u(x)\mathrm{d}S.
\]

---

 

$n=2$ 的情形是类似的, 此时令 $v(x)=\log |x|$.

 

证毕.

---

1.5 关于 $\mathbb{R}^n$ 上积分的极坐标公式

调和函数也有关于体积测度的平均值性质. 关于 $\mathbb{R}^n$ 上积分的极坐标公式是不可或缺的. 该公式表述的是, 对于 $\mathbb{R}^n$ 上的一个 Borel 可测也可积的函数 $f$, 有

\[
\frac{1}{nV(B)}\int_{\mathbb{R}^n}f\mathrm{d}V=\int_0^{\infty}r^{n-1}\int_S f(r\zeta)\mathrm{d}\sigma(\zeta)\mathrm{d}r.
\]

(参见[15], Chapter 8, Exercise 6.) 常数 $nV(B)$ 来自于 $\sigma$ 的正规化(选取 $f$ 为 $B$ 的特征函数, 可证 $nV(B)$ 是正确的系数.)

---

1.6  体积版本的均值性质

若 $u$ 是 $\bar{B}(a,r)$ 上的调和函数, 则 $u(a)$ 等于 $u$ 在 $B(a,r)$ 上的平均值. 确切地, 

\[
u(a)=\frac{1}{V(B(a,r))}\int_{B(a,r)}u\mathrm{d}V.
\]

证明: 我们可以假设 $B(a,r)=B$. 令 $f$ 为 $u$ 乘以 $B$ 上的特征函数, 应用极坐标公式 1.5, 然后利用球面上的均值性质(定理 1.4) 即可.   Q.E.D.

 

我们后面(1.24 和 1.25)会看到, 均值性质刻画了调和函数.

我们用均值性质的一个应用来结束本节. 我们已经看到一个实值调和函数可能会有一个孤立(不可去)奇点; 例如, $|x|^{2-n}$ 当 $n > 2$ 时在 0 处有一个孤立奇点. 但是, 一个实值调和函数 $u$ 不会存在孤立零点.

---

1.7  推论: 实值调和函数的零点永远不会是孤立的.

证明: 假设 $u$ 是 $\Omega$ 上的实值调和函数, $a\in\Omega$ 是 $u$ 的一个零点, 即 $u(a)=0$. 设 $r > 0$ 且使得 $\bar{B}(a,r)\subset\Omega$. 根据调和函数的均值性质, $u$ 在 $\partial B(a,r)$ 上的平均值等于 $u(a)$, 即为 0, 因此, $u$ 要么在 $\partial B(a,r)$ 上恒等于 0, 要么在 $\partial B(a,r)$ 上既有正值又有负值. 对于后一种情况, 由 $\partial B(a,r)$ 的连通性又可推出$\partial B(a,r)$ 上存在一点使得 $u(x)=0$. 

于是 $u$ 在以 $a$ 为中心的每个很小的球的边界上有一个零点, 故 $a$ 不是孤立零点.  Q.E.D.

 

$u$ 是实值这一前提是前面推论所需的. 这在 $n=2$ 时并不惊讶, 因为非常值的调和函数有孤立的零点. 当 $n\geqslant 2$ 时, 调和函数

\[
(1-n)x_1^2+\sum_{k=2}^{n}x_k^2+ix_1
\]

是一个例子; 它仅在原点处为零.

  

 

---

翻译自[1] [GTM137] Chapter 1  Basic Properties of Harmonic Functions.

Section 3. The Mean-Value Property.

 

References.

[1]  Sheldon Axler, Paul Bourdon, Wade Ramey,  Harmonic Function Theory.  (Second Edition)  

本书中所有函数均假设是复值的. 除非特别指明. 

设 $k$ 是一正函数. 记 $C^k(\Omega)$ 为 $\Omega$ 上 $k$ 次连续可微函数全体.

\[
C^{\infty}(\Omega):=\{f\in C^k(\Omega)\mid\forall\ k\in\mathbb{N}\},
\]

即 $C^{\infty}(\Omega)$ 是 $\Omega$ 上光滑函数的全体. 对于 $E\subset\mathbb{R}^n$, 记 $C(E)$ 为 $E$ 上连续函数全体.

由于拉普拉斯算子(Laplacian $\Delta$)作用在 $C^2(\Omega)$ 上是线性的, 故调和函数的(有限或无限)和、数乘仍是调和函数.

 

对于正数 $r$, 及 $\Omega$ 上的函数 $u$, $u$ 的 $r$-伸缩(dilate), 记为 $u_r$, 定义为

\[
u_r(x)=u(rx),
\]

其定义域为 $\frac{1}{r}\Omega=\{\frac{1}{r}\omega\ :\ \omega\in\Omega\}$.

若 $u\in C^2(\Omega)$, 则 $\Delta(u_r)=r^2(\Delta u)_r$, $x\in\frac{1}{r}\Omega$.

因而,

Prop. 调和函数的伸缩(有时也称为位似变换)仍是调和的.

 

注意到拉普拉斯算子 $\Delta=D_1^2+\cdots+D_n^2$ 与函数 $|x|^2=x_1^2+\cdots+x_n^2$ 在形式上的相似性, 后者的等位集(水平集, level sets)是中心在原点的球面, 调和函数与球面之间的联系是调和函数理论中的中心议题. 下一节即将讨论的平均值性质是此联系的最好体现. 另一层联系涉及到 $\mathbb{R}^n$ 上保持球面的线性变换, 这种变换被称为正交变换(orthogonal transformation). 

线性映射 $T:\ \mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n$ 被称为是正交的, 当且仅当 $|Tx|=|x|$, $\forall\ x\in\mathbb{R}^n$. 也等价于保持内积, 即

\[\langle Tx, Ty\rangle=\langle x, y\rangle,\quad\forall\ x,y\in\mathbb{R}^n.\]

(证明之.)

 

现在我们证明拉普拉斯算子与正交变换是可交换的.

Prop. 若 $T$ 是欧氏空间 $\mathbb{R}^n$(应记为 $\mathbb{E}^n=(\mathbb{R}^n, |\cdot|)$) 上的正交变换, $u\in C^2(\Omega)$, 则

\[
\Delta(u\circ T)=(\Delta u)\circ T\quad\text{在}\ T^{-1}(\Omega)\ \text{上}.
\]

Pf. 设正交变换 $T$ 在 $\mathbb{R}^n$ 的标准基下对应的矩阵为 $(t_{jk})_{n\times n}$, 则

\[
D_m(u\circ T)=\sum_{j=1}^{n}t_{jm}\cdot(D_j u)\circ T.
\]

这里 $D_m$ 指关于第 $m$ 个分量求偏导数. 

从而

\[
\begin{split}
\Delta(u\circ T)&=\sum_{m=1}^{n}D_m^2(u\circ T)=\sum_{m=1}^{n}D_m\Bigl(\sum_{j=1}^{n}t_{jm}\cdot(D_j u)\circ T\Bigr)\\
&=\sum_{m=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}t_{jm}\sum_{k=1}^{n}t_{km}\cdot(D_k D_j u)\circ T\\
&=\sum_{j,k=1}^{n}\Bigl(\sum_{m=1}^{n}t_{jm}t_{km}\Bigr)(D_k D_j u)\circ T\\
&=\sum_{j,k=1}^{n}\delta_{jk}(D_k D_j u)\circ T\\
&=\sum_{j=1}^{n}(D_j D_j u)\circ T\\
&=(\Delta u)\circ T.
\end{split}
\]

函数 $u\circ T$ 称为 $u$ 的旋转, 上面的计算表面, 调和函数的旋转仍是调和函数.

---

翻译自[1] [GTM137] Chapter 1  Basic Properties of Harmonic Functions.

Section 2. Invariance Properties.

 

References.

[1]  Sheldon Axler, Paul Bourdon, Wade Ramey,  Harmonic Function Theory.  (Second Edition)  

 

这里的调和函数是定义在欧氏空间中某个开子集上的. 记 $\Omega$ 是欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 中的开集.  $n\in\mathbb{N}$. ($\mathbb{N}$ 是自然数集, 不包括 0.)

 

定义 1. ($\Omega$ 上的调和函数).  设 $u$ 是 $\Omega$ 上定义的二次连续可微复值函数. 若满足 $\Delta u\equiv 0$, 则称 $u$ 在 $\Omega$ 上是调和的. 这里

\[\Delta=D_1^2+D_2^2+\cdots+D_n^2.\]

$D_j^2$ 指对第 $j$ 个坐标分量求二阶偏导数. 算子 $\Delta$ 称为 Laplacian, 方程 $\Delta u\equiv 0$ 称为 Laplace 方程.

 

定义 2.  称定义于某个集合 $E\subset\mathbb{R}^n$ (不必是开集)上的函数 $u$ 在 $E$ 上是调和的, 若 $u$ 可以延拓为包含 $E$ 的某个开集上的调和函数.

 

记 $x=(x_1,\ldots,x_n)$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的点, 令 $|x|=(x_1^2+\cdots+x_n^2)^{1/2}$ 为 $x$ 的欧氏范数.

最简单的非常值调和函数的例子是坐标函数 $x_j$. 例如 $u(x)=x_1$. 稍微复杂一点的例子如 $\mathbb{R}^3$ 上定义的

\[u(x)=x_1^2+x_2^2-2x_3^2+ix_2.\]

 

例.  令 $u(x)=|x|^{2-n}$, $(n > 2)$, 证明 $u(x)$ 在 $\Omega=\mathbb{R}^n\subset\{0\}$ 上是调和的.

 

通过微分可以获得更多调和函数的例子. 注意到对于光滑函数, $\Delta$ 算子与任何偏导运算均可交换. 特别地, 对于 $u(x)=|x|^{2-n}$, 求 $\partial_{1}=\dfrac{\partial}{\partial x_1}$, 有

\[
\partial_1 u(x)=\dfrac{\partial}{\partial x_1}u(x)=(2-n)x_1(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)^{-\frac{n}{2}}=(2-n)x_1|x|^{-n}
\]

因此, $x_1|x|^{-n}$ ($n > 2$)也是 $\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ 上的调和函数.

我们将证明每个调和函数都是无穷次可微的, 于是, 调和函数的任意偏导函数仍是调和函数.

事实上, 

Claim 1. $x_1|x|^{-n}$ 对于 $n = 2$ 也是 $\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ 上的调和函数.

 

Claim 2. $\log |x|$ 是 $\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ 上的调和函数.

注意 Claim 1 可以作为 Claim 2 的推论, 因为 $\frac{\partial}{\partial x_1}\log |x|=x_1|x|^{-2}$.

 

函数 $\log |x|$ 在 $n=2$ 时扮演的角色与 $|x|^{2-n}$ 在 $n>2$ 时扮演的角色是一样的. 注意到 $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\log|x|=\infty$, 但是 $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}|x|^{2-n}=0$. $\log|x|$ 既无上界也无下界, 而 $|x|^{2-n}$ 总是正的.

这暗示了在平面上的调和函数理论与高维时的调和函数理论有重大差别.

另一个主要的区别来自于平面上全纯函数与调和函数的联系:

$\Omega\subset\mathbb{R}^2$ 上的一个实值函数是调和的当且仅当局部上它是某个全纯函数的实部.

而在高维时没有相应的结果.

 

---

 

翻译自[1] [GTM137] Chapter 1  Basic Properties of Harmonic Functions.

Section 1. Definitions and Examples.

 

References.

[1]  Sheldon Axler, Paul Bourdon, Wade Ramey,  Harmonic Function Theory.  (Second Edition)  

傅立叶考虑了这样的半无穷的薄片 $D=[0,+\infty)\times[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$,  与它相接的区域 $\Omega=(-\infty,0]\times[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ 是稳定热源, 设温度始终为常值 1.

$D$ 上初始温度为 0. 当 $D$ 和 $\Omega$ 相接后, 由于热传导, $D$ 上的温度开始增高, 试求出温度函数 $v(x,y)$.

这是 $v$ 所满足的初始条件:

\[
\begin{cases}
v(0,y)=1,&\forall\ y\in(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\\
v(x,\pm\frac{\pi}{2})=0,&\forall\ x\in[0,+\infty)\\
\end{cases}
\]

求解方程 \[\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}=0.\]

 

另外, 由物理常识, 对于距离 $\Omega$ 边界很远的点 $p\in D$, 其温度 $v(p)$ 会非常小. 

 

注: 从某种观点, 物理常识在求解这类方程时, 也可以算作解应满足的条件. 也就是说, 物理学家往往对方程加上了额外的符合物理实际的条件. 这些“直觉”能帮助我们求解数学方程.

 

 

---

References:

王青建 主编《科学名著赏析--数学卷》P.195  《热的解析理论》原文节选.

傅立叶[法]  著 《热的解析理论》 

设 $f$ 是环面 $T^n$ 上的一个可积函数, $T^n\cong\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n\cong S^1\times\cdots\times S^1$.

$f$ 的 Fourier 级数定义为 $\mathbb{Z}^n$ 上的一个函数

\[
\hat{f}(k):=\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{T^n}f(\theta)e^{-ik\cdot\theta}d\theta
\]

这里 $k=(k_1,\ldots,k_n)$, $k\cdot\theta=k_1\theta_1+k_2\theta_2+\cdots+k_n\theta_n$. 记

\[
\mathcal{F}f(k):=\hat{f}(k).
\]

于是我们得到一个连续的线性映射

\[
\mathcal{F}:\ L^1(T^n)\rightarrow\ell^{\infty}(\mathbb{Z}^n).
\]

这里 $\ell^{\infty}(\mathbb{Z}^n)$ 指 $\mathbb{Z}^n$ 上的具有上确界范数的有界线性函数全体.【Ex: 证明线性性】

 

如果 $f\in C^{\infty}(T^n)$, 则通过分部积分可得到等式【请验证】

\[
k^{\alpha}\hat{f}(k)=\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{T^n}(D^{\alpha}f)(\theta)e^{-k\cdot\theta}d\theta,
\]

其中 $\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$ 是多重指标, $k^{\alpha}=k_1^{\alpha_1}\cdots k_n^{\alpha_n}$, 且

\[
D^{\alpha}=D_1^{\alpha_1}\cdots D_n^{\alpha_n},\quad D_j=\frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial\theta_j}.
\]

容易看出, $\mathcal{F}$ 是从 $C^{\infty}(T^n)$ 到 $s(\mathbb{Z}^n)$ 的映射. 即

\[
\mathcal{F}:\ C^{\infty}(T^n)\rightarrow s(\mathbb{Z}^n).
\]

这里的 $s(\mathbb{Z}^n)$ 是指由定义在 $\mathbb{Z}^n$ 上的速降函数组成的. 所谓的速降函数(rapidly decreasing) 是指对每个 $N$, 有

\[
p_N(u):=\sup_{k\in\mathbb{Z}^n}\langle k\rangle^N |u(k)| < \infty.
\]

这里采用的记号含义是: $\langle k\rangle:=(1+|k|^2)^{1/2}$, $|k|^2=k_1^2+\cdots+k_n^2$.

 

对于 $f,g\in C^{\infty}(T^n)$ 或更一般的 $f,g\in L^2(T^n)$, 定义内积

\[
(f,g)=(f,g)_{L^2}:=\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{T^n}f(\theta)\overline{g(\theta)}d\theta.
\]

对于 $u,v\in s(\mathbb{Z}^n)$ 或更一般的 $u,v\in \ell^2(\mathbb{Z}^n)$, ($\ell^2(\mathbb{Z}^n)$ 即指定义在 $\mathbb{Z}^n$ 上的所有分量平方和有限的函数集合.) 定义内积

\[
(u,v)=(u,v)_{\ell^2}:=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}u(k)\overline{v(k)}.
\]

则有下面的公式【请验证】

\[
(\mathcal{F}f,u)_{\ell^2}=(f,\mathcal{F}^* u)_{L^2},
\]

这里“拉回” $\mathcal{F}^*\ :s(\mathbb{Z}^n)\rightarrow C^{\infty}(T^n)$ 的定义为

\[
(\mathcal{F}^* u)(\theta):=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}u(k)e^{ik\cdot\theta}.
\]

 

另一个有用的恒等式是

\[
\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{T^n}e^{ik\cdot\theta}\cdot e^{-i\ell\cdot\theta}d\theta=\delta_{k\ell}.
\]

---

References:

译自 Michael E. Taylor, http://www.unc.edu/math/Faculty/met/chap3.pdf

证明:三角多项式的 Fourier 展开就是自身.

\[
1,\ \cos x,\ \sin x,\ \cos 2x,\ \sin 2x,\ \ldots,\ \cos nx,\ \sin nx,\ \ldots
\]

记为 $\{\varphi_i(x)\}_{i=1}^{\infty}$. 则有

\[
\int_{-\pi}^{\pi}\varphi_i(x)\varphi_j(x)\mathrm{d}x=0,
\]

此即三角函数系的正交性.

称 $a_0+\sum_{k=1}^{n}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)$ 为三角多项式, $a_0+\sum_{k=1}^{\infty}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)$ 为三角级数.

设 $f(x)$ 为 $[-\pi,\pi]$ 上的可积函数, 令

\[
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\mathrm{d}x,\quad a_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos kx\mathrm{d}x,\quad b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin kx\mathrm{d}x,
\]

称 $a_0,a_k,b_k$ 为 $f(x)$ 的 Fourier 系数. 称 

\[
\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)
\]

为函数 $f(x)$ 的 Fourier 级数或 Fourier 展开. 记

\[
f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)
\]

基本概念和记号

设 $X$ 是一个测度空间, $\mu$ 是 $X$ 上面的一个正测度, 不一定是有限的测度.

对于 $p\in(0,\infty)$, $L^p(X,\mu)$ 指 $X$ 上 $\mu$-可测且其模的 $p$-次方是可积的复值函数的集合.

\[
L^p(X,\mu):=\{f:X\rightarrow\mathbb{C} \mbox{是} \mu -\mbox{可测的}\mid \int_X|f|^pd\mu < +\infty\}
\]

$L^\infty(X,\mu)$ 指 $X$ 上某些 $\mu$-可测复值函数的集合, 它们满足下面的条件, 对于某个正数 $B$, 模大于 $B$ 的原像集合的 $\mu$-测度为零. 即

\[
L^\infty(X,\mu):=\{f:X\rightarrow\mathbb{C} \mbox{是} \mu -\mbox{可测的}\mid \mbox{存在某个正数} B, 使得集合 \{x:\ |f(x)| > B\} 具有零测度集.\}
\]

---

设 $\{f_j\}_{j=1}^{\infty}$ 是 $L^p(X,\mu)$ 中的一列函数. 证明

(a)(Minkowski 不等式) 对 $p\in [1,\infty]$, 有

\[
\Bigl\|\sum_{j=1}^{\infty}f_j\Bigr\|_{L^p}\leq\sum_{j=1}^{\infty}\|f_j\|_{L^p}
\]

(b)(Minkowski 不等式) 对 $p\in (0,1)$, 如果 $f_j\geq 0$, 则有反向不等式

\[
\sum_{j=1}^{\infty}\|f_j\|_{L^p}\leq\Bigl\|\sum_{j=1}^{\infty}f_j\Bigr\|_{L^p}
\]

(c) 对 $p\in (0,1)$, 存在某个常数 $C_N$ (与诸函数 $f_j$ 无关), 使得

\[
\Bigl\|\sum_{j=1}^{N}f_j\Bigr\|_{L^p}\leq C_N\sum_{j=1}^{N}\|f_j\|_{L^p}
\]

成立. 其中 $C_N$ 最小可取为 $N^{\frac{1-p}{p}}$.

 

Loukas Grafakos, Classical and Modern Fourier Analysis (傅里叶分析)

周民强   编 《调和分析讲义》  北京大学出版社.