1. 球调和函数(Spherical Harmonics)
Posted by haifeng on 2023-04-03 19:45:30 last update 2023-04-03 19:45:30 | Answers (0) | 收藏
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Posted by haifeng on 2020-12-15 14:46:52 last update 2021-04-22 10:40:30 | Answers (1) | 收藏
调和函数的许多基本性质来自于下面的 Green 第二恒等式
(我们经常用到的是
这里
记号
其中
Green 恒等式 (1.1) 可由高等微积分中的熟知的散度定理推出.
其中
为从散度定理得到 Green 恒等式, 只需令
当
Green 恒等式是证明均值性质的关键. 在讲均值性质之前, 我们介绍几个记号:
1.4 均值性质.
若
证明: 首先假设
Green 第二恒等式的另一端, 注意到
最后一个等号是因为上一行中括号中的两项是0, 应用了
下面计算剩下两项的积分. 这里必须要注意,
从而,
当限制在
值为
当限制在
值为
于是
推出
注意这里等式两端的体积元
接着, 进行换元. 令
因此有
令
即得到了公式
证毕.
1.5 关于
调和函数也有关于体积测度的平均值性质. 关于
(参见[15], Chapter 8, Exercise 6.) 常数
1.6 体积版本的均值性质
若
证明: 我们可以假设
我们后面(1.24 和 1.25)会看到, 均值性质刻画了调和函数.
我们用均值性质的一个应用来结束本节. 我们已经看到一个实值调和函数可能会有一个孤立(不可去)奇点; 例如,
1.7 推论: 实值调和函数的零点永远不会是孤立的.
证明: 假设
于是
是一个例子; 它仅在原点处为零.
翻译自[1] [GTM137] Chapter 1 Basic Properties of Harmonic Functions.
Section 3. The Mean-Value Property.
References.
[1] Sheldon Axler, Paul Bourdon, Wade Ramey, Harmonic Function Theory. (Second Edition)
Posted by haifeng on 2020-12-15 11:21:14 last update 2020-12-15 14:42:30 | Answers (3) | 收藏
本书中所有函数均假设是复值的. 除非特别指明.
设
即
由于拉普拉斯算子(Laplacian
对于正数
其定义域为
若
因而,
Prop. 调和函数的伸缩(有时也称为位似变换)仍是调和的.
注意到拉普拉斯算子
线性映射
(证明之.)
现在我们证明拉普拉斯算子与正交变换是可交换的.
Prop. 若
Pf. 设正交变换
这里
从而
函数
翻译自[1] [GTM137] Chapter 1 Basic Properties of Harmonic Functions.
Section 2. Invariance Properties.
References.
[1] Sheldon Axler, Paul Bourdon, Wade Ramey, Harmonic Function Theory. (Second Edition)
Posted by haifeng on 2020-12-15 07:08:36 last update 2020-12-15 14:42:05 | Answers (3) | 收藏
这里的调和函数是定义在欧氏空间中某个开子集上的. 记
定义 1. (
定义 2. 称定义于某个集合
记
最简单的非常值调和函数的例子是坐标函数
例. 令
通过微分可以获得更多调和函数的例子. 注意到对于光滑函数,
因此,
我们将证明每个调和函数都是无穷次可微的, 于是, 调和函数的任意偏导函数仍是调和函数.
事实上,
Claim 1.
Claim 2.
注意 Claim 1 可以作为 Claim 2 的推论, 因为
函数
这暗示了在平面上的调和函数理论与高维时的调和函数理论有重大差别.
另一个主要的区别来自于平面上全纯函数与调和函数的联系:
而在高维时没有相应的结果.
翻译自[1] [GTM137] Chapter 1 Basic Properties of Harmonic Functions.
Section 1. Definitions and Examples.
References.
[1] Sheldon Axler, Paul Bourdon, Wade Ramey, Harmonic Function Theory. (Second Edition)
Posted by haifeng on 2020-12-01 18:54:57 last update 2020-12-31 09:41:50 | Answers (1) | 收藏
傅立叶考虑了这样的半无穷的薄片
这是
求解方程
另外, 由物理常识, 对于距离
注: 从某种观点, 物理常识在求解这类方程时, 也可以算作解应满足的条件. 也就是说, 物理学家往往对方程加上了额外的符合物理实际的条件. 这些“直觉”能帮助我们求解数学方程.
References:
王青建 主编《科学名著赏析--数学卷》P.195 《热的解析理论》原文节选.
傅立叶[法] 著 《热的解析理论》
Posted by haifeng on 2015-12-14 18:08:10 last update 2015-12-16 00:43:13 | Answers (3) | 收藏
设
这里
于是我们得到一个连续的线性映射
这里
如果
其中
容易看出,
这里的
这里采用的记号含义是:
对于
对于
则有下面的公式【请验证】
这里“拉回”
另一个有用的恒等式是
References:
译自 Michael E. Taylor, http://www.unc.edu/math/Faculty/met/chap3.pdf
Posted by haifeng on 2015-08-24 13:32:32 last update 2015-08-24 13:34:23 | Answers (1) | 收藏
证明:三角多项式的 Fourier 展开就是自身.
Posted by haifeng on 2015-08-24 13:30:19 last update 2023-08-23 09:07:24 | Answers (1) | 收藏
记为
此即三角函数系的正交性.
称
设
称
为函数
Posted by haifeng on 2013-07-22 17:48:28 last update 2013-07-23 14:21:09 | Answers (0) | 收藏
基本概念和记号
设
对于
设
(a)(Minkowski 不等式) 对
(b)(Minkowski 不等式) 对
(c) 对
成立. 其中
Posted by haifeng on 2013-07-22 17:13:33 last update 2020-12-15 06:57:47 | Answers (1) | 收藏
Loukas Grafakos, Classical and Modern Fourier Analysis (傅里叶分析)
周民强 编 《调和分析讲义》 北京大学出版社.