问题

分析 >> 调和分析

Questions in category: 调和分析 (Harmonic Analysis).

三角函数系

Posted by haifeng on 2015-08-24 13:30:19 last update 2023-08-23 09:07:24 | Answers (1) | 收藏

$1, \cos x, \sin x, \cos 2 x, \sin 2 x, \dots, \cos n x, \sin n x, \dots$

记为 ${φ_{i} (x)}_{i = 1}^{\infty}$ . 则有

$\int_{- π}^{π} φ_{i} (x) φ_{j} (x) d x = 0,$

此即三角函数系的正交性.

称 $a_{0} + \sum_{k = 1}^{n} (a_{k} \cos k x + b_{k} \sin k x)$ 为三角多项式, $a_{0} + \sum_{k = 1}^{\infty} (a_{k} \cos k x + b_{k} \sin k x)$ 为三角级数.

设 $f (x)$ 为 $[- π, π]$ 上的可积函数, 令

$a_{0} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) d x, a_{k} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) \cos k x d x, b_{k} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) \sin k x d x,$

称 $a_{0}, a_{k}, b_{k}$ 为 $f (x)$ 的 Fourier 系数. 称

$\frac{a_{0}}{2} + \sum_{k = 1}^{\infty} (a_{k} \cos k x + b_{k} \sin k x)$

为函数 $f (x)$ 的 Fourier 级数或 Fourier 展开. 记

$f (x) \sim \frac{a_{0}}{2} + \sum_{k = 1}^{\infty} (a_{k} \cos k x + b_{k} \sin k x)$