问题及解答

\[
1,\ \cos x,\ \sin x,\ \cos 2x,\ \sin 2x,\ \ldots,\ \cos nx,\ \sin nx,\ \ldots
\]

记为 $\{\varphi_i(x)\}_{i=1}^{\infty}$. 则有

\[
\int_{-\pi}^{\pi}\varphi_i(x)\varphi_j(x)\mathrm{d}x=0,
\]

此即三角函数系的正交性.

称 $a_0+\sum_{k=1}^{n}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)$ 为三角多项式, $a_0+\sum_{k=1}^{\infty}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)$ 为三角级数.

设 $f(x)$ 为 $[-\pi,\pi]$ 上的可积函数, 令

\[
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\mathrm{d}x,\quad a_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos kx\mathrm{d}x,\quad b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin kx\mathrm{d}x,
\]

称 $a_0,a_k,b_k$ 为 $f(x)$ 的 Fourier 系数. 称 

\[
\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)
\]

为函数 $f(x)$ 的 Fourier 级数或 Fourier 展开. 记

\[
f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)
\]

正交性的证明.

\[
\int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\mathrm{d}x=\biggl(\frac{1}{n}\sin nx\biggr)\biggr|_{-\pi}^{\pi}=0.
\]

\[
\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\mathrm{d}x=\biggl(-\frac{1}{n}\cos nx\biggl)\biggr|_{-\pi}^{\pi}=0.
\]

由积化和差公式, 

\[
2\cos nx \cos mx=\cos(n+m)x+\cos(n-m)x,
\]

故

\[
\int_{-\pi}^{\pi}\cos nx \cos mx\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\Bigl[\cos(n+m)x+\cos(n-m)x\Bigr]\mathrm{d}x=0.
\]

同理,

\[
2\sin nx \sin mx=\cos(n-m)x-\cos(n+m)x,
\]

故

\[
\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx \sin mx\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\Bigl[\cos(n-m)x-\cos(n+m)x\Bigr]\mathrm{d}x=0.
\]

因

\[
2\sin nx \cos mx=\sin(n+m)x+\sin(n-m)x,
\]

故

\[
\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx \cos mx\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\Bigl[\sin(n+m)x+\sin(n-m)x\Bigr]\mathrm{d}x=0.
\]

此外,

\[
\int_{-\pi}^{\pi}1^2\mathrm{d}x=2\pi,
\]

\[
\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2 nx\mathrm{d}x=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1+\cos 2nx}{2}\mathrm{d}x=\pi,
\]

\[
\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2 nx\mathrm{d}x=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1-\cos 2nx}{2}\mathrm{d}x=\pi.
\]