问题及解答

调和函数的均值性质

调和函数的许多基本性质来自于下面的 Green 第二恒等式

$${\int }_{\mathrm{\Omega }}(u\mathrm{\Delta }v-v\mathrm{\Delta }u)\mathrm{d}V={\int }_{\partial \mathrm{\Omega }}(u{D}_{\overrightarrow{n}}v-v{D}_{\overrightarrow{n}}u)\mathrm{d}S.(1.1)$$

(我们经常用到的是 $\mathrm{\Omega }$ 是球($B(p,r)$)的特殊情形. )

这里 $\mathrm{\Omega }$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的一个有界开集, 有光滑的边界, 并且 $u,v$ 是 $\bar{\mathrm{\Omega }}$ 某个邻域上的 $C^2$-函数. ($\bar{\mathrm{\Omega }}$ 指 $\mathrm{\Omega }$ 在 ${\mathbb{R}}^n$ 中的闭包.)

$V=V_n$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 上的 Lebesgue 体积测度, $S$ 表示 $\partial \mathrm{\Omega }$ 上的面积测度. (附录(Appendix) A 中有关于球和球面上积分的讨论.)

记号 $D_{\overrightarrow{n}}$ 指代关于外法向量 $\overrightarrow{n}$ 的方向导数. (注意下面的 $D_n$ 指 ${\partial }_{x_n}=\frac{\partial }{\partial x_n}$.)  于是对于 $\zeta \in \partial D$, 

$$(D_{\overrightarrow{n}}u)(\zeta )=(\mathrm{\nabla }u)(\zeta )\cdot \overrightarrow{n}(\zeta ),$$

其中 $\mathrm{\nabla }u=(D_{1}u,\dots ,D_{n}u)$ 指 $u$ 的梯度(gradient), $\cdot$ 表示通常的欧氏内积.

 

Green 恒等式 (1.1) 可由高等微积分中的熟知的散度定理推出.

$${\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{div}\overrightarrow{W}\mathrm{d}V={\int }_{\partial \mathrm{\Omega }}\overrightarrow{W}\cdot \overrightarrow{n}\mathrm{d}S(1.2)$$

其中 $\overrightarrow{W}=(w_1,\dots ,w_n)$ 是 $\bar{\mathrm{\Omega }}$ 的某个邻域上的 ${\mathbb{C}}^n$-值函数, 即光滑复值向量场(a ${\mathbb{C}}^n$-valued function whose components are continuously differentiable).

$\overrightarrow{W}$ 的散度定义为

$$\mathrm{div}\overrightarrow{W}:=D_1{w}_1+\cdots +D_n{w}_n.$$

为从散度定理得到 Green 恒等式, 只需令 $\overrightarrow{W}=u\mathrm{\nabla }v-v\mathrm{\nabla }u$, 代入计算即可(详见问题642).

 

当 $u$ 是调和函数, $v\equiv 1$, 则由 (1.1) 得到下面 Green 恒等式的一个有用形式:

$${\int }_{\partial \mathrm{\Omega }}{D}_{\overrightarrow{n}}u\mathrm{d}S=0.$$

Green 恒等式是证明均值性质的关键. 在讲均值性质之前, 我们介绍几个记号: 

$B(a,r)=\{x\in {\mathbb{R}}^n:|x-a|<r\}$ 是欧氏空间 ${\mathbb{R}}^n$ (准确地, 应该是 ${\mathbb{E}}^n=({\mathbb{R}}^n,d)$) 中以 $a$ 为圆心, $r$ 为半径的开球; 其闭包是闭球 $\bar{B}(a,r)$; 单位球 $B(0,1)$ 被简记为 $B$, 其闭包记为 $\bar{B}$. 当维数很重要需要指明时, 就写为 $B_n$. $B$ 的边界, 单位球面被记为 $S$; $S$ 上的正则化面积测度(normalized surface-area measure) 被记为 $\sigma$ (即使得 $\sigma (S)=1$). 测度 $\sigma$ 是 $S$ 上唯一的 Borel probability measure, 即是旋转不变的. 所谓测度是旋转不变是指 $\sigma (T(E))=\sigma (E)$ 对每个 Borel 集 $E\subset S$ 和每个正交变换 $T$ 都成立.

 

1.4 均值性质.

若 $u$ 是 $\bar{B}(a,r)$ 上的调和函数, 则 $u(a)$ 等于 $u$ 在 $\partial B(a,r)$ 上的平均值. 确切的,

$$u(a)={\int }_{S}u(a+r\zeta )\mathrm{d}\sigma (\zeta ).$$

证明:  首先假设 $n>2$.  不失一般性, 我们可以假设 $B(a,r)=B$. 固定某个 $\epsilon \in (0,1)$. 考虑 $\mathrm{\Omega }=\{x\in {\mathbb{R}}^n:\epsilon <|x|<1\}$, 并设 $v(x)=|x{|}^{2-n}$. 对 $\mathrm{\Omega }$ 和 $u$, $v$ 应用 Green 第二恒等式. 注意 $v(x)$ 是 ${\mathbb{R}}^n-\{0\}$ 上的调和函数(见问题2651). $\partial \mathrm{\Omega }$ 有两部分组成, $S=\{x\in {\mathbb{R}}^n:|x|=1\}$ 和 $\epsilon S$. 这里 $x\in S$ 处的单位外法向量 $\hat{v}$ 或 $\overrightarrow{n}$ 就是 $x$; 而 $\epsilon S$ 的单位外法向量指向球心. 因此 ${\int }_{\partial \mathrm{\Omega }}={\int }_S-{\int }_{\epsilon S}$.

$${\int }_{\mathrm{\Omega }}(u\mathrm{\Delta }v-v\mathrm{\Delta }u)\mathrm{d}V={\int }_{\mathrm{\Omega }}(u\cdot 0-v\cdot 0)\mathrm{d}V=0.$$

Green 第二恒等式的另一端, 注意到 $v(x)=|x{|}^{2-n}$, 故 $v{|}_S=1$, $v{|}_{\epsilon S}={\epsilon }^{2-n}$.

$$\begin{array}{rl}& {\int }_{\partial \mathrm{\Omega }}(u{D}_{\overrightarrow{n}}v-v{D}_{\overrightarrow{n}}u)\mathrm{d}S\\ =& {\int }_S(u{D}_{\overrightarrow{n}}v-v{D}_{\overrightarrow{n}}u)\mathrm{d}S-{\int }_{\epsilon S}(u{D}_{\overrightarrow{n}}v-v{D}_{\overrightarrow{n}}u)\mathrm{d}S\\ =& {\int }_S(u{D}_{\overrightarrow{n}}|x{|}^{2-n}-D_{\overrightarrow{n}}u)\mathrm{d}S-{\int }_{\epsilon S}(u{D}_{\overrightarrow{n}}|x{|}^{2-n}-{\epsilon }^{2-n}{D}_{\overrightarrow{n}}u)\mathrm{d}S\\ =& {\int }_{S}u{D}_{\overrightarrow{n}}|x{|}^{2-n}\mathrm{d}S-{\int }_{\epsilon S}u{D}_{\overrightarrow{n}}|x{|}^{2-n}\mathrm{d}S-[{\int }_S{D}_{\overrightarrow{n}}u\mathrm{d}S-{\int }_{\epsilon S}{\epsilon }^{2-n}{D}_{\overrightarrow{n}}u\mathrm{d}S]\\ =& {\int }_{S}u{D}_{\overrightarrow{n}}|x{|}^{2-n}\mathrm{d}S-{\int }_{\epsilon S}u{D}_{\overrightarrow{n}}|x{|}^{2-n}\mathrm{d}S\end{array}$$

最后一个等号是因为上一行中括号中的两项是0, 应用了 $\mathrm{\Omega }$ 上的调和函数 $u$, 其沿边界外法向量的方向导数在边界上的积分为0. (${\int }_{\partial \mathrm{\Omega }}{D}_{\overrightarrow{n}}u\mathrm{d}S=0$.)

下面计算剩下两项的积分. 这里必须要注意, $v(x)$ 限制在 $S$ 上等于常数 1, 不代表 $D_{\overrightarrow{n}}v=D_{\overrightarrow{n}}|x{|}^{2-n}=0$. 事实上, $D_{\overrightarrow{n}}|x{|}^{2-n}=\mathrm{\nabla }|x{|}^{2-n}\cdot \hat{v}$, 而

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\nabla }|x{|}^{2-n}& =({\partial }_{x_1},\dots ,{\partial }_{x_n})(x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2{)}^{\frac{2-n}{2}}\\ & =\frac{2-n}{2}(x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2{)}^{\frac{2-n}{2}-1}\cdot (2x_1,2x_2,\dots ,2x_n)\\ & =(2-n)(x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2{)}^{\frac{-n}{2}}\cdot (x_1,x_2,\dots ,x_n)\\ & =(2-n)|x{|}^{-n}\overrightarrow{x}\end{array}$$

从而, 

$$D_{\overrightarrow{n}}|x{|}^{2-n}=\mathrm{\nabla }|x{|}^{2-n}\cdot \hat{v}$$

当限制在 $S$ 上, $\hat{v}=\overrightarrow{x}$, 从而

$$D_{\overrightarrow{n}}|x{|}^{2-n}=\mathrm{\nabla }|x{|}^{2-n}\cdot \hat{v}=(2-n)|x{|}^{-n}\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{x}=(2-n)|x{|}^{-n}|x{|}^2=(2-n)|x{|}^{2-n}$$

值为 $2-n$.

当限制在 $\epsilon S$ 上时, 注意此时 $\hat{v}$ 仍是单位向量, 且 $\hat{v}=\frac{\overrightarrow{x}}{\epsilon }$, 故

$$D_{\overrightarrow{n}}|x{|}^{2-n}=\mathrm{\nabla }|x{|}^{2-n}\cdot \hat{v}=(2-n)|x{|}^{-n}\overrightarrow{x}\cdot \frac{\overrightarrow{x}}{\epsilon }=\frac{2-n}{\epsilon }|x{|}^{-n}|x{|}^2=\frac{2-n}{\epsilon }|x{|}^{2-n},$$

值为 $(2-n){\epsilon }^{1-n}$.

于是

$$\begin{array}{rl}0=& {\int }_{S}u{D}_{\overrightarrow{n}}|x{|}^{2-n}\mathrm{d}S-{\int }_{\epsilon S}u{D}_{\overrightarrow{n}}|x{|}^{2-n}\mathrm{d}S\\ =& {\int }_{S}u\cdot (2-n)\mathrm{d}S-{\int }_{\epsilon S}u\cdot (2-n){\epsilon }^{1-n}\mathrm{d}S\\ =& (2-n){\int }_{S}u\mathrm{d}S-(2-n){\epsilon }^{1-n}{\int }_{\epsilon S}u\mathrm{d}S\end{array}$$

推出

$${\int }_{S}u\mathrm{d}S={\epsilon }^{1-n}{\int }_{\epsilon S}u\mathrm{d}S$$

注意这里等式两端的体积元 $\mathrm{d}S$ 并不一样. 右端 ${\int }_{\epsilon S}u(x)\mathrm{d}S$ 中的体积元 $\mathrm{d}S$ 是 $\epsilon S$ 上的体积元, 乘上系数 ${\epsilon }^{1-n}$ 后即为单位球面 $S$ 上的体积元. (也就是说, 右端 ${\epsilon }^{1-n}\mathrm{d}S=\mathrm{d}{S}_1$, 这里不妨用 $\mathrm{d}{S}_1$ 表示单位球面的体积元, 它和左边的 $\mathrm{d}S$ 是一样的.) 于是得到

$${\int }_{S}u\mathrm{d}{S}_1={\int }_{\epsilon S}u\mathrm{d}{S}_1$$

接着, 进行换元. 令 $x=\epsilon \zeta$, 这里 $\zeta \in S$, 则

$${\int }_{\epsilon S}u(x)\mathrm{d}S={\int }_{S}u(\epsilon \zeta )\mathrm{d}\sigma (\zeta ).$$

因此有

$${\int }_{S}u\mathrm{d}S={\int }_{S}u(\epsilon \zeta )\mathrm{d}\sigma (\zeta ).$$

令 $\epsilon \to 0$, 并利用 $u(x)$ 在原点处的连续性, 得

$${\int }_{S}u(\epsilon \zeta )\mathrm{d}\sigma (\zeta )\to {\int }_{S}u(0)\mathrm{d}S=u(0).$$

即得到了公式

$$u(0)={\int }_{S}u(x)\mathrm{d}S.$$

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$n=2$ 的情形是类似的, 此时令 $v(x)=\log |x|$.

 

证毕.

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1.5 关于 ${\mathbb{R}}^n$ 上积分的极坐标公式

调和函数也有关于体积测度的平均值性质. 关于 ${\mathbb{R}}^n$ 上积分的极坐标公式是不可或缺的. 该公式表述的是, 对于 ${\mathbb{R}}^n$ 上的一个 Borel 可测也可积的函数 $f$, 有

$$\frac{1}{nV(B)}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}f\mathrm{d}V={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{r}^{n-1}{\int }_{S}f(r\zeta )\mathrm{d}\sigma (\zeta )\mathrm{d}r.$$

(参见[15], Chapter 8, Exercise 6.) 常数 $nV(B)$ 来自于 $\sigma$ 的正规化(选取 $f$ 为 $B$ 的特征函数, 可证 $nV(B)$ 是正确的系数.)

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1.6  体积版本的均值性质

若 $u$ 是 $\overline{B}(a,r)$ 上的调和函数, 则 $u(a)$ 等于 $u$ 在 $B(a,r)$ 上的平均值. 确切地, 

$$u(a)=\frac{1}{V(B(a,r))}{\int }_{B(a,r)}u\mathrm{d}V.$$

证明: 我们可以假设 $B(a,r)=B$. 令 $f$ 为 $u$ 乘以 $B$ 上的特征函数, 应用极坐标公式 1.5, 然后利用球面上的均值性质(定理 1.4) 即可.   Q.E.D.

 

我们后面(1.24 和 1.25)会看到, 均值性质刻画了调和函数.

我们用均值性质的一个应用来结束本节. 我们已经看到一个实值调和函数可能会有一个孤立(不可去)奇点; 例如, $|x{|}^{2-n}$ 当 $n>2$ 时在 0 处有一个孤立奇点. 但是, 一个实值调和函数 $u$ 不会存在孤立零点.

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1.7  推论: 实值调和函数的零点永远不会是孤立的.

证明: 假设 $u$ 是 $\mathrm{\Omega }$ 上的实值调和函数, $a\in \mathrm{\Omega }$ 是 $u$ 的一个零点, 即 $u(a)=0$. 设 $r>0$ 且使得 $\overline{B}(a,r)\subset \mathrm{\Omega }$. 根据调和函数的均值性质, $u$ 在 $\partial B(a,r)$ 上的平均值等于 $u(a)$, 即为 0, 因此, $u$ 要么在 $\partial B(a,r)$ 上恒等于 0, 要么在 $\partial B(a,r)$ 上既有正值又有负值. 对于后一种情况, 由 $\partial B(a,r)$ 的连通性又可推出$\partial B(a,r)$ 上存在一点使得 $u(x)=0$. 

于是 $u$ 在以 $a$ 为中心的每个很小的球的边界上有一个零点, 故 $a$ 不是孤立零点.  Q.E.D.

 

$u$ 是实值这一前提是前面推论所需的. 这在 $n=2$ 时并不惊讶, 因为非常值的调和函数有孤立的零点. 当 $n⩾2$ 时, 调和函数

$$(1-n)x_1^2+\sum _{k=2}^n{x}_k^2+i{x}_1$$

是一个例子; 它仅在原点处为零.

  

 

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翻译自[1] [GTM137] Chapter 1  Basic Properties of Harmonic Functions.

Section 3. The Mean-Value Property.

 

References.

[1]  Sheldon Axler, Paul Bourdon, Wade Ramey,  Harmonic Function Theory.  (Second Edition)  

$n=2$ 情形的证明是完全类似的. 只要令 $v(x)=\log |x|$ 即可. 注意此时 $v(x)$ 也是 ${\mathbb{R}}^2-\{0\}$ 上的调和函数(见问题2651). 令 $\mathrm{\Omega }=\{x\in {\mathbb{R}}^2:\epsilon <|x|<1\}$, 其中 $\epsilon \in (0,1)$.

代入 Green 第二恒等式

$${\int }_{\mathrm{\Omega }}(u\mathrm{\Delta }v-v\mathrm{\Delta }u)\mathrm{d}V={\int }_{\partial \mathrm{\Omega }}(u{D}_{\overrightarrow{n}}v-v{D}_{\overrightarrow{n}}u)\mathrm{d}S,$$

由于 $u(x)$, $v(x)$ 均是 $\mathrm{\Omega }$ 上的调和函数, 故上式左边等于0. 计算右边,

$$\begin{array}{rl}& {\int }_{\partial \mathrm{\Omega }}(u{D}_{\overrightarrow{n}}v-v{D}_{\overrightarrow{n}}u)\mathrm{d}S\\ =& {\int }_S(u{D}_{\overrightarrow{n}}v-v{D}_{\overrightarrow{n}}u)\mathrm{d}S-{\int }_{\epsilon S}(u{D}_{\overrightarrow{n}}v-v{D}_{\overrightarrow{n}}u)\mathrm{d}S\\ =& {\int }_S(u{D}_{\overrightarrow{n}}\log |x|-D_{\overrightarrow{n}}u)\mathrm{d}S-{\int }_{\epsilon S}(u{D}_{\overrightarrow{n}}\log |x|-{\epsilon }^{2-n}{D}_{\overrightarrow{n}}u)\mathrm{d}S\\ =& {\int }_{S}u{D}_{\overrightarrow{n}}\log |x|\mathrm{d}S-{\int }_{\epsilon S}u{D}_{\overrightarrow{n}}\log |x|\mathrm{d}S-[{\int }_S{D}_{\overrightarrow{n}}u\mathrm{d}S-{\int }_{\epsilon S}{\epsilon }^{2-n}{D}_{\overrightarrow{n}}u\mathrm{d}S]\\ =& {\int }_{S}u{D}_{\overrightarrow{n}}\log |x|\mathrm{d}S-{\int }_{\epsilon S}u{D}_{\overrightarrow{n}}\log |x|\mathrm{d}S\end{array}$$

最后一个等号是因为上一行中括号中的两项是0, 应用了 $\mathrm{\Omega }$ 上的调和函数 $u$, 其沿边界外法向量的方向导数在边界上的积分为0. (${\int }_{\partial \mathrm{\Omega }}{D}_{\overrightarrow{n}}u\mathrm{d}S=0$.)

下面计算剩下两项的积分. 这里必须要注意, $v(x)=\log |x|$ 限制在 $S$ 上等于常数 $0$, 不代表 $D_{\overrightarrow{n}}v=D_{\overrightarrow{n}}|x{|}^{2-n}=0$. 事实上, $D_{\overrightarrow{n}}\log |x|=\mathrm{\nabla }\log |x|\cdot \hat{v}$, 而

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\nabla }\log |x|& =({\partial }_{x_1},\dots ,{\partial }_{x_n})\log |x|\\ & =\frac{1}{|x|}(\frac{\partial }{\partial x_1}|x|,\dots ,\frac{\partial }{\partial x_n}|x|)\\ & =\frac{1}{|x|}(\frac{x_1}{|x|},\dots ,\frac{x_n}{|x|})\\ & =\frac{1}{|x{|}^2}(x_1,\dots ,x_n)\\ & =\frac{\overrightarrow{x}}{|x{|}^2}\end{array}$$

从而, 

$$D_{\overrightarrow{n}}\log |x|=\mathrm{\nabla }\log |x|\cdot \hat{v}=\frac{\overrightarrow{x}}{|x{|}^2}\cdot \hat{v}.$$

当限制在 $S$ 上, $\hat{v}=\overrightarrow{x}$, 从而

$$D_{\overrightarrow{n}}\log |x|=\frac{\overrightarrow{x}}{|x{|}^2}\cdot \overrightarrow{x}=1.$$

当限制在 $\epsilon S$ 上时, 注意此时 $\hat{v}$ 仍是单位向量, 且 $\hat{v}=\frac{\overrightarrow{x}}{\epsilon }$, 故

$$D_{\overrightarrow{n}}\log |x|=\frac{\overrightarrow{x}}{|x{|}^2}\cdot \frac{\overrightarrow{x}}{\epsilon }=\frac{1}{\epsilon }.$$

于是

$$\begin{array}{rl}0=& {\int }_{S}u{D}_{\overrightarrow{n}}\log |x|\mathrm{d}S-{\int }_{\epsilon S}u{D}_{\overrightarrow{n}}\log |x|\mathrm{d}S\\ =& {\int }_{S}u\mathrm{d}S-{\int }_{\epsilon S}u\cdot \frac{1}{\epsilon }\mathrm{d}S\\ =& {\int }_{S}u\mathrm{d}{S}_1-{\int }_{\epsilon S}u\mathrm{d}{S}_1\end{array}$$

推出

$${\int }_{S}u\mathrm{d}{S}_1={\int }_{\epsilon S}u\mathrm{d}{S}_1$$

(理由和前面的一样.  右端 ${\int }_{\epsilon S}u(x)\mathrm{d}S$ 中的体积元 $\mathrm{d}S$ 是 $\epsilon S$ 上的体积元, 乘上系数 ${\epsilon }^{-1}$ 后即为单位球面 $S$ 上的体积元. (不妨写 ${\epsilon }^{-1}\mathrm{d}S=\mathrm{d}{S}_1$, 和左边的 $\mathrm{d}S$ 是一样的.) 

接着, 进行换元. 令 $x=\epsilon \zeta$, 这里 $\zeta \in S$, 则

$${\int }_{\epsilon S}u(x)\mathrm{d}{S}_1={\int }_{S}u(\epsilon \zeta )\mathrm{d}\sigma (\zeta ).$$

因此有

$${\int }_{S}u\mathrm{d}S={\int }_{S}u(\epsilon \zeta )\mathrm{d}\sigma (\zeta ).$$

令 $\epsilon \to 0$, 并利用 $u(x)$ 在原点处的连续性, 得

$${\int }_{S}u(\epsilon \zeta )\mathrm{d}\sigma (\zeta )\to {\int }_{S}u(0)\mathrm{d}S=u(0).$$

即得到了公式

$$u(0)={\int }_{S}u(x)\mathrm{d}S.$$