若干连续正整数的乘积不可能是平方数.
这个结论是 Erdõs 证明的, 参见[0].
对于连续的 $k$ 个正整数 $n, n+1,\ldots, n+k-1$, 人们早已猜测它们的乘积
\[A_k(n)=n(n+1)\cdots(n+k-1)\]
不可能是某个正整数的 $\ell$ 次幂. (这里 $k>1$, $\ell>1$).
对于 $k=2$ 和 $k=3$ 的情形, 这个结论是熟知的.
如对于 $k=2$, $n^2<n(n+1)<(n+1)^2$, 所以 $n(n+1)$ 不可能是某个整数的平方. 一般的, 注意到 $n$ 和 $n+1$ 是互素的, 除 1 之外没有公因子, $n=a_1 x_1^\ell$, $n+1=a_2 x_2^\ell$, 且$a_1 a_2=x_3^\ell$, 因此不存在 $\ell>1$, 使得 $n(n+1)=x^\ell$.
假设 $(n+1)(n+2)(n+3)=x^\ell$, 同样的, 可设 $n+i=a_i x_i^\ell$, $i=1,2,3$. 且 $a_1 a_2 a_3=x_0^\ell$. 要知道 $n+1$, $n+3$ 如果是奇数, 则一定互素, 如果是偶数, 则至多有公因子 2. 因此若 $2|x_0$, $\ell$ 必须为 2. 但是 $(n+1)(n+2)(n+3)=x^2$ 这是不可能的. 否则由于 $x>n+2$, 必有 $x|(n+1)(n+3)$.
Q. 两个相邻奇数 $2k-1$, $2k+1$ 是否互素?
A. 若有公因子 $d>1$, 设 $2k-1=ad$, $2k+1=bd$, 则 $bd-ad=2$, 这推出 $(b-a)d=2$. 又 $b-a>0$, 而 $d$ 不可能是 2, 故矛盾. 因此相邻两个奇数一定互素.
References
[0] P. Erdõs, Note on products of consecutive integers, Journal of the London Mathematical Society, Vol. 14, 1939.