问题

为阐述这一点, 我们考虑下面这个例子.

Example 1.1 假设圆周上放置了 $n$ 个数 $a_1,\ldots,a_n$. (不妨将这些数视为角度.) 现在有一个变换 $A$, 它将 $a_1$ 替换为 $\frac{a_n+a_2}{2}$, $a_2$ 替换为 $\frac{a_1+a_3}{2}$, 等等. 其中第二步中的 $a_1$ 来自于第一步的结果. 也就是, 如果它们以逆时针排列, 则依次将当前数的两旁的两个数取平均后代替当前的数.

如果将这个替换进行足够多次, 问它们彼此间隔是否差不多相等?

为了回答这个问题, 我们需要找出 $A$ 的特征值. 首先要明确指出的是, 这里 $A$ 是作用在 $S^1\times\cdots\times S^1=T^n$ 上的.

然而, 确切地计算其特征多项式从而求出特征根是一个相当困难的问题. 但我们观察到这个问题具有旋转对称性: 如果记 $B$ 为圆周的旋转变换, 它将圆周逆时针旋转 $2\pi/n$, 则 $BAB^{-1}=A$. 算子 $B$ 生成循环置换群 $\mathbb{Z}_n$, 我们将这种对称称为 $\mathbb{Z}_n$ 对称. 我们试图利用这个对称性去寻找 $A$ 的特征向量和特征值.

我们利用线性代数中的一个结果:

Claim: 若线性变换 $A,B$ 在向量空间上的作用是可换的, $V_\lambda$ 是 $B$ 的特征空间, 则 $AV_\lambda\subset V_\lambda$.

Pf. $BAV_{\lambda}=ABV_\lambda=AV_\lambda$, 因此 $AV_\lambda$ 必属于 $V_\lambda$.

Q.E.D of Claim.

于是, 若算子 $B$ 是对角化的(相应于对角矩阵), 且 $V$ 在 $B$ 的作用下分解为 $B$ 的不变子空间直和: $V=\oplus V_\lambda$, 则 $A$ 保持此分解. 于是问题约化为 $A$ 在每个 $V_\lambda$ 上对角化的问题. 而这相对来说比较容易.

这里, $B^n=\mathrm{id}$. $B$ 的特征值是单位元的 $n$ 次根. 记

\[\varepsilon=e^{2\pi i/n}\]

是 $1$ 的第 $i$ 个根. 容易验证, $\lambda=\varepsilon^k$, $k=0,1,\ldots,n-1$ 都是 $B$ 的特征值, 相应的特征向量为

\[v_k=(1,\varepsilon^k,\varepsilon^{2k},\ldots,\varepsilon^{(n-1)k}).\]

于是, $B$ 的每个特征子空间是一维的. 从而每个 $v_k$ 也是 $A$ 的特征向量. 事实上, 我们看到

\[Av_k=\frac{\varepsilon^k+\varepsilon^{-k}}{2}v_k.\]

Pf.

\[B^{-1}:\ v_k=(1,\varepsilon^k,\varepsilon^{2k},\ldots,\varepsilon^{(n-1)k})\mapsto v_{k+1}=(\varepsilon^k,\varepsilon^{2k},\ldots,\varepsilon^{(n-1)k,1})\]

为避免混淆, 记新的 $v_k$ 为 $v'_k=v_{k+1}$.

\[Av'_k=\frac{v'_{k-1}+v'_{k+1}}{2}=\frac{v_k+v_{k+2}}{2},\]

从而

\[BAB^{-1}v_k=BAv'_k=B\frac{v_k+v_{k+2}}{2}=\frac{v_{k-1}+v_{k+1}}{2}=\frac{\varepsilon^{-k}+\varepsilon^k}{2}v_k\]

Q.E.D

考虑 $S^2\subset\mathbb{R}^3$. 定义球面上的 Laplace 算子

\[
\begin{array}{rcl}
\Delta_{\text{sph}}:\ C^\infty(S^2)&\rightarrow& C^\infty(S^2)\\
f&\mapsto&\Delta_{\text{sph}}f:=(\Delta\tilde{f})|_{S^2}
\end{array}
\]

其中 $\tilde{f}$ 是 $f$ 到 $\mathbb{R}^3-\{0\}$ 上的延拓(在从原点出发的射线上取值等于在球面上相应点处的值). $\Delta$ 是 $\mathbb{R}^3$ 上通常的 Laplace 算子.

易见, $\Delta_{\text{sph}}$ 是球面上的二阶微分算子, 可以在球面坐标下写出其确切的形式, 但不是非常好看.

对于许多应用, 重要的是我们要知道 $\Delta_{\text{sph}}$ 的特征值和特征函数. 特别的, 在量子力学(quantum mechanics)中提出下面的问题:

the eigenvalues are related to the energy levels of a hydrogen atom in quantum mechanical description.

但不幸的是, 使用蛮力的做法寻找特征函数, 得到的是一个十分难算的二阶微分方程.

不过很大程度上类似于一开始的例子, 易见这个问题也有某种对称性, 即群 $SO(3,\mathbb{R})$ 通过旋转作用在球面上. 但是, 试图重复刚才例子中的方法, 我们会碰到两个问题:

•  $SO(3,\mathbb{R})$ 不是有限生成群, 因此我们不能只使用一个或有限个算子 $B_i$, 并考虑它们的公共特征空间.
•  $SO(3,\mathbb{R})$ 不可交换, 因此不同的算子不能同时被对角化.

李群理论的目标就是创造工具来解决这些(或类似于这些的)问题. 简言之, 第一个问题的答案是 $SO(3,\mathbb{R})$ 在某种意义下是有限生成的, 即, 它被三个绕 $x,y,z$ 轴旋转的“无穷小旋转”的生成元生成.(详见例3.10) (也可参阅问题793的答案.)

第二个问题的答案是, 我们并不是将 $C^\infty(S^2)$ 分解为关于算子 $B\in SO(3,\mathbb{R})$ 的特征子空间的直和, 而是将它分解为 $SO(3,\mathbb{R})$ 的“不可约表示”. 为此, 我们需要发展 $SO(3,\mathbb{R})$ 的表示论理论. 我们将在 Chapter 5 中做这个工作并完成此例子的分析.

译自

Alexander Kirillov, Jr.

Introduction to Lie Groups and Lie Algebras