笛卡尔积 $\prod_{\lambda\in\Lambda}X_{\lambda}$ 中的点 $x=\langle x_{\lambda}\rangle_{\lambda\in\Lambda}$ 是一个映射 $x: \Lambda\rightarrow\cup_{\lambda\in\Lambda}X_{\lambda}$ 使 $\forall\ \lambda\in\Lambda$, $x(\lambda)\in X_{\lambda}$.

形象地看 $x$ 的作用就是同时在每个 $X_{\lambda}$ 中选出一点 $x_{\lambda}$ 来, 所以可称 $x$ 为选择函数.

当存在 $\lambda\in\Lambda$ 使 $X_{\lambda}=\emptyset$ 时, 在 $X_{\lambda}$ 中选不到点, 自然也就不存在所谓的选择函数. 从而 $\prod_{\lambda\in\Lambda}X_{\lambda}=\emptyset$.

反过来, 当 $\forall\ \lambda\in\Lambda$, $X_{\lambda}\neq\emptyset$ 时, 一定存在选择函数. 看来似乎也很合理, 却无法作出证明. 更使人惊奇的是, 对于这种选择函数存在性的假定引出了许多意想不到的等价命题, 在历史上引起许多争论.

Zermelo 第一个明确地叙述了这个假设并称之为选择公理, 后来有人证明了只要集合论的公理系统自身没有矛盾, 那就不会因为引进选择公理而产生矛盾.

[选择公理] 对于任一由非空集合组成的非空族 $\mathcal{A}$, 总存在映射 $c:\ \mathcal{A}\rightarrow\cup\mathcal{A}$ 使 $\forall\ A\in\mathcal{A}$, $c(A)\in A$. 称 $c$ 为选择函数.