证明: $\tan x$ 在 $x=0$ 处的 Taylor 展开式为

\[
\tan x=x+\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5+o(x^5).
\]

关于 $\tan x$ 的高阶导数, 参见问题2582.

定理 (Bernstein) 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上任意阶可导, 且各阶导数非负. 则当 $x,x_0\in(a,b)$, 且 $|x-x_0| < b-x_0$ 时,
\[
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)(x_0)}}{n!}(x-x_0)^n\ .
\]

[Hint] 关键是要证明余项 $R_n(x)\rightarrow 0$ ($n\rightarrow\infty$).  在估计 $R_n(x)$ 时要用到关于 $f$ 高阶导数的估计:

\[
f^{(n)}(x)\leqslant\frac{n!M}{(b-x)^n},\quad\forall\ x\in(a,b),
\]

这里 $M=f(b)-f(a)$. (见问题3446.)

设 $f(x)$ 在 $x$ 附近 ($B(x,\delta)$) 有直到 $n=2m$ 阶的导数, 设 $0 < h < \delta$. 则由 Taylor 展开可得

\[
\frac{f(x-h)-2f(x)+f(x+h)}{h^2}=f''(x)+2\frac{f^{(4)}(x)}{4!}h^2+2\frac{f^{(6)}(x)}{6!}h^4+\cdots+2\frac{f^{(2m)}(\xi)}{6!}h^{2m-2},
\]

这里 $\xi\in(x-h,x+h)$.

证明: 多项式函数 $f(x)=(1+x)^{2n+1}$ 在 $x=0$ 处可展开为

\[
(1+x)^{2n+1}=\sum_{k=0}^{n}C_{2n+1}^k x^k+R_n(x).
\]