设 $f(x)$ 在 $x$ 附近 ($B(x,\delta)$) 有直到 $n=2m$ 阶的导数, 设 $0 < h < \delta$. 则由 Taylor 展开可得

\[
\frac{f(x-h)-2f(x)+f(x+h)}{h^2}=f''(x)+2\frac{f^{(4)}(x)}{4!}h^2+2\frac{f^{(6)}(x)}{6!}h^4+\cdots+2\frac{f^{(2m)}(\xi)}{6!}h^{2m-2},
\]

这里 $\xi\in(x-h,x+h)$.

证明: 多项式函数 $f(x)=(1+x)^{2n+1}$ 在 $x=0$ 处可展开为

\[
(1+x)^{2n+1}=\sum_{k=0}^{n}C_{2n+1}^k x^k+R_n(x).
\]