问题及解答

证明: $\tan x$ 在 $x=0$ 处的 Taylor 展开式为

\[
\tan x=x+\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5+o(x^5).
\]

关于 $\tan x$ 的高阶导数, 参见问题2582.

将 $f(x)=\tan x$ 在 $x=0$ 处展开到 $x^5$.

$f'(x)=(\tan x)'=\sec^2 x=1+\tan^2 x$.

\[
\begin{split}
f''(x)&=(1+\tan^2 x)'=2\tan x\cdot(\tan x)'=2\tan x\cdot\sec^2 x\\
&=2\tan x\cdot(1+\tan^2 x)=2\tan x+2\tan^3 x\\
&=2\tan x\cdot(1+\tan^2 x).
\end{split}
\]

\[
\begin{split}
f'''(x)&=(2\tan x+2\tan^3 x)'=2\sec^2 x+6\tan^2 x\cdot\sec^2 x\\
&=2(1+\tan^2 x)+6\tan^2 x\cdot(1+\tan^2 x)\\
&=2+2\tan^2 x+6\tan^2 x+6\tan^4 x\\
&=2+8\tan^2 x+6\tan^4 x\\
&=2(1+\tan^2 x)(1+3\tan^2 x).
\end{split}
\]

\[
\begin{split}
f^{(4)}(x)&=(2+8\tan^2 x+6\tan^4 x)'\\
&=16\tan x\cdot\sec^2 x+24\tan^3 x\cdot\sec^2 x\\
&=(16\tan x+24\tan^3 x)\cdot\sec^2 x\\
&=8\tan x\cdot(2+3\tan^2 x)\cdot(1+\tan^2 x)\\
&=16\tan x+40\tan^3 x+24\tan^5 x.
\end{split}
\]

\[
\begin{split}
f^{(5)}(x)&=(16\tan x+40\tan^3 x+24\tan^5 x)'\\
&=16\sec^2 x+120\tan^2 x\cdot\sec^2 x+120\tan^4 x\cdot\sec^2 x\\
&=(16+120\tan^2 x+120\tan^4 x)\cdot\sec^2 x\\
&=8(2+15\tan^2 x+15\tan^4 x)\cdot(1+\tan^2)\\
&=16+136\tan^2 x+240\tan^4 x+120\tan^6 x.
\end{split}
\]

因此,

\[
f'(0)=1,\quad f''(0)=0,\quad f'''(0)=2,\quad f^{(4)}(0)=0,\quad f^{(5)}(0)=16.
\]

于是

\[
\begin{split}
\tan x&=0+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(5)}(0)}{5!}x^5+o(x^5)\\
&=x+\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5+o(x^5).
\end{split}
\]