问题

定理 (Bernstein) 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上任意阶可导, 且各阶导数非负. 则当 $x,x_0\in(a,b)$, 且 $|x-x_0| < b-x_0$ 时,
\[
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)(x_0)}}{n!}(x-x_0)^n\ .
\]

[Hint] 关键是要证明余项 $R_n(x)\rightarrow 0$ ($n\rightarrow\infty$).  在估计 $R_n(x)$ 时要用到关于 $f$ 高阶导数的估计:

\[
f^{(n)}(x)\leqslant\frac{n!M}{(b-x)^n},\quad\forall\ x\in(a,b),
\]

这里 $M=f(b)-f(a)$. (见问题3446.)