设 $G=SO(2,1)$ 是 $\mathbb{R}^3$ 上二次型 $x^2+y^2-z^2$ 的等距同构群. 令 $J$ 是此二次型对应的矩阵形式. 证明: $A\in SO(2,1)$ 当且仅当 $A^t JA=J$. 从而推出 $SO(2,1)$ 的李代数由所有满足 $X^t J+JX=0$ 的矩阵组成. 证明 $\mathfrak{so}(2,1)$ 同构于 $(\mathbb{R}^3,\times)$. 伴随作用是 $SO(2,1)$ 在 $\mathbb{R}^3$ 上的标准作用. 确定伴随作用的轨道.
设 $G=SO(2,1)$ 是 $\mathbb{R}^3$ 上二次型 $x^2+y^2-z^2$ 的等距同构群. 令 $J$ 是此二次型对应的矩阵形式. 证明: $A\in SO(2,1)$ 当且仅当 $A^t JA=J$.
从而推出 $SO(2,1)$ 的李代数由所有满足 $X^t J+JX=0$ 的矩阵组成.
证明下面的映射给出了 $\mathfrak{so}(2,1)$ 到 $(\mathbb{R}^3,\times)$ 的一个同构.
\[
\begin{array}{rcl}
\varphi:\ \mathfrak{so}(2,1)&\rightarrow(\mathbb{R}^3,\times)\\
(x,y,z)&\mapsto &
\begin{pmatrix}
0 & -z & y\\
z & 0 & x\\
y & x & 0
\end{pmatrix}
\end{array}
\]
伴随作用是 $SO(2,1)$ 在 $\mathbb{R}^3$ 上的标准作用. 确定伴随作用的轨道.