以下内容译自 Patrick J.R. Ryan [1] 的毕业论文 "The Grothendieck-Riemann-Roch Theorem".  2015.

经典的 Riemann-Roch 定理是复分析和代数几何中的一个基础性结果. 其原始形式, 是由 Bernhard Riemann 和他的学生 Gustav Roch 在十九世纪中叶发展得出的. 此定理建立了紧致黎曼曲面的解析性质与拓扑性质之间的一个联系. 此联系源于曲面上亚纯函数之零点和极点到曲面亏格之间的相关数据. 1930年代, Friedrich Karl Schmidt 意识到对于任意代数闭域上的光滑射影曲线, 可以使用纯代数语言来证明.

定理. 设 $C$ 是代数闭域 $k$ 上的一条光滑射影曲线(smooth projective curve), 则对 $C$ 上任意因子 $D$, 我们有

\[
\ell(D)-\ell(K_C-D)=\deg(D)-g(C)+1,
\]

其中 $K_C$ 是 $C$ 的典范因子(canonical divisor), $g(C)$ 是 $C$ 的亏格. 对任意因子 $D$, $\deg(D)$ 指因子 $D$ 的阶(degree).

\[\ell(D)=\dim_k H^0(C,\mathcal{L}(C))\]

是相应 Riemann-Roch 空间的维数.

References:

[1] patrick.pdf (harvard.edu)