定理. (Schwarz 引理)  设 $f$ 是从单位圆盘 $\mathbb{D}=\{z\in\mathbb{C}\mid |z| < 1\}$ 到自身的全纯函数, 且 $f(0)=0$, 则

(i)  $|f'(0)|\leqslant 1$;

(ii)  $|f(z)|\leqslant |z|$, $\forall\ z\in\mathbb{D}$, 

且等号成立时, 存在某个实数 $\theta$, 使得

\[f(z)=e^{i\theta}z,\quad\forall\ z\in\mathbb{D}.\]

一个自然的推论是对于不同半径圆盘之间的全纯函数 $f$, 如果映中心到中心, 则 $f$ 在中心的导数的模被这两个半径之比控制. 具体的:

推论.

(1)  设 $f: B_R(0)\rightarrow B_r(0)$ 是从半径为 $R$ 的圆盘到半径为 $r$ 的圆盘的全纯函数, 且 $f(0)=0$, 则 $|f'(0)|\leqslant\frac{r}{R}$.

(2)  设 $f: B_R(0)\rightarrow\mathbb{C}$ 为有界全纯函数, 则

\[|f'(0)|\leqslant\frac{2}{R}\sup|f|.\]

(3) (Liouville 定理) 设 $f:\ \mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ 为有界全纯函数, 则 $f$ 为常值函数.

Q. 以上考虑都是圆盘到圆盘或者圆盘到复平面或者复平面到复平面, 当定义域为正方形或其他形状时, 会有怎样的结论?

应用 Schwarz 引理还可以求出单位圆盘 $\mathbb{D}$ 的全纯自同构群 ($\mathrm{Aut}(\mathbb{D})$).

注. 

1. 由 Schwarz 引理可立即得到单位圆盘 $\mathbb{D}$ 的全纯自同构群.

2.  Gromov-Schwarz 引理 是该引理在紧致厄密特(Hermite)流形上的推广.

参考自[1], [2]

[1]  梅加强 著 《黎曼曲面导引》 

[2]  龚昇 编著 《简明复分析》