设 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的一个有界连通开区域, $m$ 是一个非负整数, $1\leqslant p < +\infty$. 对于 $C^k(\overline{\Omega})$ 中的任意 $u$, 定义

\[\|u\|_{m,p}:=\biggl(\sum_{|\alpha|\leqslant m}\int_\Omega\bigl|\partial^\alpha u(x)\bigr|^p\biggr)^{\frac{1}{p}}.\]

证明: $\|\cdot\|_{m,p}$ 是范数, 但 $C^k(\overline{\Omega})$ 依 $\|\cdot\|_{m,p}$ 不是完备的.

若定义

\[\|u\|:=\max_{|\alpha|\leqslant k}\,\,\max_{x\in\overline{\Omega}}\bigl|\partial^\alpha u(x)\bigr|,\]

则 $\|\cdot\|$ 是一范数, 且 $C^k(\overline{\Omega})$ 依 $\|\cdot\|$ 是完备的赋范线性空间.

References:

张恭庆, 《泛函分析讲义》 P.30--31