问题

设 $\mathrm{\Omega }$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的一个有界连通开区域, $m$ 是一个非负整数, $1⩽p<+\mathrm{\infty }$. 对于 $C^k(\bar{\mathrm{\Omega }})$ 中的任意 $u$, 定义

$$\Vert u{\Vert }_{m,p}:=(\sum _{|\alpha |⩽m}{\int }_{\mathrm{\Omega }}|{\partial }^{\alpha }u(x){|}^p{)}^{\frac{1}{p}}.$$

证明: $\Vert \cdot {\Vert }_{m,p}$ 是范数, 但 $C^k(\bar{\mathrm{\Omega }})$ 依 $\Vert \cdot {\Vert }_{m,p}$ 不是完备的.

若定义

$$\Vert u\Vert :=\underset{|\alpha |⩽k}{max}\underset{x\in \bar{\mathrm{\Omega }}}{max}|{\partial }^{\alpha }u(x)|,$$

则 $\Vert \cdot \Vert$ 是一范数, 且 $C^k(\bar{\mathrm{\Omega }})$ 依 $\Vert \cdot \Vert$ 是完备的赋范线性空间.

References:

张恭庆, 《泛函分析讲义》 P.30--31