证明

\[\|u\|_{L^{\infty}(\mathbb{R})}\leqslant C\cdot\|u\|_{L^2(\mathbb{R})}^{\frac{1}{2}}\cdot\|u_x\|_{L^2(\mathbb{R})}^{\frac{1}{2}}\]

Remark:

题目来源于“基础数学研究群”

并非所有内积空间都具有正交基.

Whether all inner product spaces have an orthonormal basis? The answer is negative.

References:

https://en.wikipedia.org/wiki/Inner_product_space#Orthonormal_sequences

若不等式

\[
\|\{a_n\}\|_{L^q}\leqslant A\|f\|_{L^q}
\]

对所有 $f\in L^p$ 成立, 其中 $a_n=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(\theta)e^{-in\theta}d\theta$.

证明: $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\leqslant 1$.

\[
W^{k,p}(\mathbb{R}):=\{f\in L^p(\mathbb{R})\mid f, f^{(1)},\ldots, f^{(k)} \in L^p(\mathbb{R})\}
\]

也就是说 $W^{k,p}$ 是 $L^p$ 的一个子集, 要求函数 $f$ 及它的直到 $k$ 阶弱导数均具有有限的 $L^p$ 范数. 这里 $p\in[1,+\infty]$.

当 $p=2$ 时, 记 $H^k :=W^{k,2}$. 此时 $H^k$ 是一个 Hilbert 空间.

(这里考虑弱导数, 是因为了此空间是完备的, 从而是一个 Banach 空间.)

一般的, 设 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$, $m$ 是非负整数, $1\leqslant p < \infty$, 称集合

\[
W^{m,p}(\Omega):=\{u\in L^p(\Omega)\mid \tilde{\partial}^{\alpha}u\in L^p(\Omega),\ |\alpha|\leqslant m\}
\]

按模

\[
\|u\|_{m,p}=\Bigl(\sum_{|\alpha|\leqslant m}\|\tilde{\partial}^{\alpha}u\|^p_{L^p(\Omega)}\Bigr)^{1/p}
\]

设 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的一个有界连通开区域, $m$ 是一个非负整数, $1\leqslant p < +\infty$. 对于 $C^k(\overline{\Omega})$ 中的任意 $u$, 定义

\[\|u\|_{m,p}:=\biggl(\sum_{|\alpha|\leqslant m}\int_\Omega\bigl|\partial^\alpha u(x)\bigr|^p\biggr)^{\frac{1}{p}}.\]

证明: $\|\cdot\|_{m,p}$ 是范数, 但 $C^k(\overline{\Omega})$ 依 $\|\cdot\|_{m,p}$ 不是完备的.

若定义

\[\|u\|:=\max_{|\alpha|\leqslant k}\,\,\max_{x\in\overline{\Omega}}\bigl|\partial^\alpha u(x)\bigr|,\]

则 $\|\cdot\|$ 是一范数, 且 $C^k(\overline{\Omega})$ 依 $\|\cdot\|$ 是完备的赋范线性空间.

References:

张恭庆, 《泛函分析讲义》 P.30--31

证明:

\[\lim_{T\rightarrow+\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-T}^{T}\frac{\sin jx}{x}dx=1.\]

References:

张恭庆 《泛函分析讲义》 P.174-175.

S. Banach [1] 和 H. Steinhaus 证明了奇点稠密原理(principle of condensation of singularities).

定理(S. Banach, H. Steinhaus): 设对每个 $p$, $\{T_{p,q}\}(q=1,2,\ldots)$ 是 Banach-空间 $X$ 到赋范线性空间 $Y_p$ 的一列有界线性算子. 这里 $p=1,2,\ldots$. 假设对于每个 $p$, 存在 $x_p\in X$, 使得 $\varlimsup\limits_{q\rightarrow\infty}\|T_{p,q}x_p\|=\infty$. 则集合

是第二纲集.

这个定理要基于下面 S. Banach 的一个定理:

定理(S. Banach): 假设 $\{T_n\}$ 是 Banach 空间 $X$ 到赋范线性空间 $Y_n$ 的一列有界线性算子. 则集合

或者就等于 $X$, 或者是 $X$ 中的一个第一纲集.

References:

Kôsaku Yosida(吉田 耕作), Functional Analysis, Sixth Edition. Springer-Verlag

[1] S. Banach, Théorie des Opérations Linéaires, Warszawa 1932.

存在定义在 $[0,1]$ 上的一个实值连续函数 $x(t)$, 使得在子区间 $[0,1/2]$ 上没有一点 $t_0$ 处的微商 $x'(t_0)$ 是有限的.