证明

$$\Vert u{\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}(\mathbb{R})}⩽C\cdot \Vert u{\Vert }_{L^2(\mathbb{R})}^{\frac{1}{2}}\cdot \Vert u_x{\Vert }_{L^2(\mathbb{R})}^{\frac{1}{2}}$$

Remark:

题目来源于“基础数学研究群”

并非所有内积空间都具有正交基.

Whether all inner product spaces have an orthonormal basis? The answer is negative.

References:

https://en.wikipedia.org/wiki/Inner_product_space#Orthonormal_sequences

若不等式

$$\Vert \{a_n\}{\Vert }_{L^q}⩽A\Vert f{\Vert }_{L^q}$$

对所有 $f\in L^p$ 成立, 其中 $a_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(\theta )e^{-in\theta }d\theta$.

证明: $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}⩽1$.

$$W^{k,p}(\mathbb{R}):=\{f\in L^p(\mathbb{R})\mid f,f^{(1)},\dots ,f^{(k)}\in L^p(\mathbb{R})\}$$

也就是说 $W^{k,p}$ 是 $L^p$ 的一个子集, 要求函数 $f$ 及它的直到 $k$ 阶弱导数均具有有限的 $L^p$ 范数. 这里 $p\in [1,+\mathrm{\infty }]$.

当 $p=2$ 时, 记 $H^k:=W^{k,2}$. 此时 $H^k$ 是一个 Hilbert 空间.

(这里考虑弱导数, 是因为了此空间是完备的, 从而是一个 Banach 空间.)

一般的, 设 $\mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{R}}^n$, $m$ 是非负整数, $1⩽p<\mathrm{\infty }$, 称集合

$$W^{m,p}(\mathrm{\Omega }):=\{u\in L^p(\mathrm{\Omega })\mid {\tilde{\partial }}^{\alpha }u\in L^p(\mathrm{\Omega }),|\alpha |⩽m\}$$

按模

$$\Vert u{\Vert }_{m,p}=(\sum _{|\alpha |⩽m}\Vert {\tilde{\partial }}^{\alpha }u{\Vert }_{L^p(\mathrm{\Omega })}^p{)}^{1/p}$$

设 $\mathrm{\Omega }$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的一个有界连通开区域, $m$ 是一个非负整数, $1⩽p<+\mathrm{\infty }$. 对于 $C^k(\bar{\mathrm{\Omega }})$ 中的任意 $u$, 定义

$$\Vert u{\Vert }_{m,p}:=(\sum _{|\alpha |⩽m}{\int }_{\mathrm{\Omega }}|{\partial }^{\alpha }u(x){|}^p{)}^{\frac{1}{p}}.$$

证明: $\Vert \cdot {\Vert }_{m,p}$ 是范数, 但 $C^k(\bar{\mathrm{\Omega }})$ 依 $\Vert \cdot {\Vert }_{m,p}$ 不是完备的.

若定义

$$\Vert u\Vert :=\underset{|\alpha |⩽k}{max}\underset{x\in \bar{\mathrm{\Omega }}}{max}|{\partial }^{\alpha }u(x)|,$$

则 $\Vert \cdot \Vert$ 是一范数, 且 $C^k(\bar{\mathrm{\Omega }})$ 依 $\Vert \cdot \Vert$ 是完备的赋范线性空间.

References:

张恭庆, 《泛函分析讲义》 P.30--31

证明:

$$\underset{T\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\pi }{\int }_{-T}^T\frac{\sin jx}{x}dx=1.$$

References:

张恭庆 《泛函分析讲义》 P.174-175.

S. Banach [1] 和 H. Steinhaus 证明了奇点稠密原理(principle of condensation of singularities).

定理(S. Banach, H. Steinhaus): 设对每个 $p$, $\{T_{p,q}\}(q=1,2,\dots )$ 是 Banach-空间 $X$ 到赋范线性空间 $Y_p$ 的一列有界线性算子. 这里 $p=1,2,\dots$. 假设对于每个 $p$, 存在 $x_p\in X$, 使得 $\underset{q\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}\Vert T_{p,q}{x}_p\Vert =\mathrm{\infty }$. 则集合

是第二纲集.

这个定理要基于下面 S. Banach 的一个定理:

定理(S. Banach): 假设 $\{T_n\}$ 是 Banach 空间 $X$ 到赋范线性空间 $Y_n$ 的一列有界线性算子. 则集合

或者就等于 $X$, 或者是 $X$ 中的一个第一纲集.

References:

Kôsaku Yosida(吉田 耕作), Functional Analysis, Sixth Edition. Springer-Verlag

[1] S. Banach, Théorie des Opérations Linéaires, Warszawa 1932.

存在定义在 $[0,1]$ 上的一个实值连续函数 $x(t)$, 使得在子区间 $[0,1/2]$ 上没有一点 $t_0$ 处的微商 $x^{\prime }(t_0)$ 是有限的.