问题及解答

S. Banach [1] 和 H. Steinhaus 证明了奇点稠密原理(principle of condensation of singularities).

定理(S. Banach, H. Steinhaus): 设对每个 $p$, $\{T_{p,q}\}(q=1,2,\ldots)$ 是 Banach-空间 $X$ 到赋范线性空间 $Y_p$ 的一列有界线性算子. 这里 $p=1,2,\ldots$. 假设对于每个 $p$, 存在 $x_p\in X$, 使得 $\varlimsup\limits_{q\rightarrow\infty}\|T_{p,q}x_p\|=\infty$. 则集合

\[ B=\big\{x\in X\mid \varlimsup\limits_{q\rightarrow\infty}\|T_{p,q}x\|=\infty\quad\text{for all }p=1,2\ldots\big\} \]

是第二纲集.

这个定理要基于下面 S. Banach 的一个定理:

定理(S. Banach): 假设 $\{T_n\}$ 是 Banach 空间 $X$ 到赋范线性空间 $Y_n$ 的一列有界线性算子. 则集合

\[ B=\big\{x\in X\mid \varlimsup\limits_{n\rightarrow\infty}\|T_{n}x\|<\infty\big\} \]

或者就等于 $X$, 或者是 $X$ 中的一个第一纲集.

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References:

Kôsaku Yosida(吉田 耕作), Functional Analysis, Sixth Edition. Springer-Verlag

[1] S. Banach, Théorie des Opérations Linéaires, Warszawa 1932.

S.Banach 定理的证明

假设 $B$ 是第二纲集, 我们去证明 $B=X$.

根据 $B$ 的定义, 有

\[\lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{n\geqslant 1}\|k^{-1}T_n x\|=0,\quad\forall\ x\in B.\]

于是对任意 $\varepsilon>0$,

\[B\subset\cup_{k=1}^{\infty}B_k,\quad\text{其中}\ B_k=\big\{x\in X\mid\sup_{n\geqslant 1}\|k^{-1}T_n x\|\leqslant\varepsilon\big\}.\]

根据 $T_n$ 的连续性(即有界性), 每个 $B_k$ 都是一个闭集. 因此, 若 $B$ 是第二纲集, 则存在某个 $B_{k_0}$, 其包含一个半径为正的球. 也就是存在 $x_0\in B_{k_0}$ 及 $\delta>0$, 对于 $\|x-x_0\|\leqslant\delta$ 的那些 $x$ 均位于 $B_{k_0}$ 中, 即有 $\sup\limits_{n\geqslant 1}\|k^{-1}T_n x\|\leqslant\varepsilon$. 因此, 若令 $y=x-x_0$, 有

\[\|y\|\leqslant\delta,\quad\|k_0^{-1}T_n y\|\leqslant\|k_0^{-1}T_n x\|+\|k_0^{-1}T_n x_0\|\leqslant 2\varepsilon.\]

于是, 令 $z=k_0^{-1}y$, 有

\[\sup_{n\geqslant 1,\|z\|\leqslant k_0^{-1}\delta}\|T_n z\|\leqslant 2\varepsilon,\]

这说明, 对任意 $x\in X$, 存在 $h>0$, 使得 $\|hx\|=k_0^{-1}\delta$, 即 $\|x\|=\frac{\delta}{hk_0}$. 从而

\[\sup_{n\geqslant 1,\|hx\|\leqslant k_0^{-1}\delta}\|T_n(hx)\|\leqslant 2\varepsilon,\]

这推出

\[\|T_n x\|\leqslant\frac{2\varepsilon}{h}=\frac{2\varepsilon k_0}{\delta}\|x\|,\]

于是

\[\sup_{n\geqslant 1}\|T_n\|<+\infty,\]

说明 $x$ 一定在某个 $B_k$ 中, 从而 $x\in B$, 故有 $X=B$.

奇点稠密定理的证明:

对每个 $p$, 令

\[B_p=\big\{x\in X\mid\varlimsup_{q\rightarrow\infty}\|T_{p,q}x\|<\infty\big\},\]

根据假设(对每个 $p$, 存在 $x_p\in X$, 使得 $\varlimsup\limits_{q\rightarrow\infty}\|T_{p,q}x_p\|=\infty$)及前一个定理, 可知 $B_p$ 是第一纲集. 于是 $B=X-\cup_{p=1}^{\infty}B_p$ 必是第二纲集.