设正整数 $m,n\geqslant 2$, $a,b$ 是实数. 设 $A=\begin{bmatrix}J & \\ & K\end{bmatrix}$ 是 $m+n$ 阶实方阵, 其中 $J$ 为 $m$ 阶方阵, $K$ 为 $n$ 阶方阵:

\[
J=\begin{bmatrix}
a & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
1 & a & 0 & \cdots & 0 & 0\\
0 & 1 & a & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & a & 0\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & a\\
\end{bmatrix},\quad K=\begin{bmatrix}
b & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
1 & b & 0 & \cdots & 0 & 0\\
0 & 1 & b & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & b & 0\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & b\\
\end{bmatrix}.
\]

求线性空间 $\{X\in M_{m+n}(\mathbb{R})\mid AX=XA\}$ 的维数.

注:  此题为2023年10月一试清华新领军第5题.