若当曲线定理
定理(Jordan). 一条简单闭曲线 $\gamma$, 将复平面分成两个域, 其中一个是有界的, 称为 $\gamma$ 的内部; 另一个是无界的, 称为 $\gamma$ 的外部. $\gamma$ 是这两个域的共同边界.
这里的域指连通开集. Jordan 定理的内容非常直观, 但是证明却很复杂. 我们这里研究 Jordan 定理的证明.
Jordan 曲线定理是 Cauchy-Riemann 方法应用到复变函数理论并正确发展的基础.
这个结果作为定理首次是出现在 1887年 Camille Jordan 的著名教科书 "Cour d'Analyze de l'école Polytechnique" 中. 不过 Jordan 在书中给出的证明完全是错的.
对于光滑曲线, 该定理是显然成立的. 但是对于处处不可微的简单闭曲线, 例如 Koch snowfake 来说, 在曲线附近要判断某个点在曲线所围区域内部还是外部是比较困难的.
第一个正确证明是由 Oswald Veblen 于 1905 年给出的.
以上内容参考了 [1].
References:
[1] https://people.math.osu.edu/fiedorowicz.1/math655/Jordan.html