证明: 李群 $G$ 的李代数 $\mathfrak{g}$ 总是其中心和交换子的直和: $\mathfrak{g}=\mathfrak{z}\oplus[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$. 并且交换子是半单的.

回忆: 李代数 $\mathfrak{g}$ 的中心定义为

\[\mathfrak{z}=\mathfrak{z}(g):=\{x\in\mathfrak{g}\mid [x,y]=0,\ \forall\ y\in\mathfrak{g}\},\]

显然 $\mathfrak{z}(g)$ 是 $\mathfrak{g}$ 的一个理想.

[Def](半单李代数) 一个李代数 $\mathfrak{g}$ 称为是半单的(semisimple), 如果它没有非零可交换理想, 特别的, 此时推出 $\mathfrak{z}(g)=0$. 单李代数当然是半单的.

或等价的, 如果李代数没有非零可解理想, 则称为半单李代数.