[1] P.15 当 $\ell=1$ 时基本引理的证明(Mordell)中, 有下面这个恒等式

\[
\begin{split}
&\sum_{a_k}\cdots\sum_{a_1}\biggl|\sum_{x=1}^{p}e_p(a_k x^k+\cdots+a_1 x)\biggr|^{2k}\\
=&\sum_{x_1}\cdots\sum_{x_k}\sum_{y_1}\cdots\sum_{y_k}\sum_{a_k}\cdots\sum_{a_1}e_p\bigl(a_k(x_1^k+\cdots+x_k^k-y_1^k-\cdots-y_k^k)+\cdots+a_1(x_1+\cdots+x_k-y_1-\cdots-y_k)\bigr)\\
=&p^k N,
\end{split}
\]

References:

[1] 华罗庚 著, 王元  审校  《华罗庚文集》（数论卷I）