[Def]近复结构
设 $M$ 是一个光滑流形, $M$ 上的一个近复结构(almost complex structure) $J$ 是指在 $M$ 的每个切空间上都赋予一个线性复结构 $J_x$ ($x\in M$) (即 $J_x^2=-\mathrm{id}$). 并且 $J$ 是光滑依赖于 $x$ 的. 换句话说, $M$ 上的复结构就是定义在 $M$ 上的一个 $(1,1)$-张量场: $J:TM\rightarrow TM$, 也可看成是一个丛映射.
赋予近复结构的流形称为近复流形(almost complex manifold).
Claim 1. 近复流形都是(实)偶数维的.
Pf. 假设 $M^n$ 是近复流形, $J:TM\rightarrow TM$ 是上面的近复结构. 则 $\det(J-xI)$ 是关于 $x$ 的一个 $n$ 次多项式. 如果 $n$ 是奇数, 则此多项式至少有一个实根 $\lambda$, 对应的特征向量是 $v$, 从而 $Jv=\lambda v$, 于是 $J^2 v=J(\lambda v)=\lambda^2 v\neq -v$. 矛盾. 因此, $n$ 必为偶数.
Q.E.D of Claim 1.
Claim 2. 近复流形一定是可定向的.
References: