考虑平面上所有单连通的区域, 其边界具有固定的长度 $L$, 边界是可以变动的. 则当边界是圆时具有最大的面积.

用数学语言表述如下:

设 $\Omega$ 是平面上的一个单连通区域, 其边界 $\partial\Omega$ 的周长是 $L$, 面积为 $A$, 则有下面的不等式

\[
A\leqslant\frac{L^2}{4\pi}.
\]

Carleman 证明了这个不等式对于极小曲面的每个单连通的 rectifiable piece 都成立.  Beckenbach and Rado 证明了等周不等式对于任意Gauss曲率非正的曲面的每个单连通的 rectifiable piece 都成立. 并且反过来, 如果曲面的每个单连通小片满足等周不等式, 则曲面的 Gauss 曲率 $K\leqslant 0$.

References:

E. F. Beckenbach and T. Rado, Subharmonic functions and surfaces of negative curvature. Trans. Amer. Math. Soc. 35 (1933), 662–674.

T. Carleman, Zur Theorie der Minimalflächen, Mathematische Zeitschrift, vol.9(1921), pp. 154-160.