介绍

本文的目的是宣告在 4 维辛流形的 Seiberg-Witten 规范理论不变量与利用 2 维伪全纯子流形来定义的一些 Gromov 不变量之间存在一个等价关系(见定理 4.1).

下面所列的定理是由该等价关系所推出的一些结论.

定理. 设 $X$ 是一紧致定向 $4$ 维流形, $b_2^+>1$ 且具有一辛形式 $\omega$. 则

1. $X$ 的典范丛 $K$ 的 Poincaré 对偶可由某嵌入的辛曲线的基本类来表示.
2. 由 2 维嵌入球面基本类所表示的在 $X$ 中的同调类, 其自相交数为 $\pm 1$, and that pairs nontrivially with $c_1(K)$ has pairing $\pm 1$ with $c_1(K)$ and is represented by the fundamental class of an embedded, symplectic 2-sphere.
   
3. 若 $c_1(K)\cdot c_1(K)<0$, 则 $X$ 可以沿着某个自相交数为 $-1$ 的辛球面 be symplectically blown down.
   
4. 假设 $X$ 不能沿着某个自相交数为 $-1$ 的辛球面 blown down, 且假设 $c_1(K)$ 非有理平凡. 则 $X$ 的相交形式的指标不小于 $-\frac{4}{3}(1-b_1)-\frac{2}{3}b_2$. (这里 $b_i$ 是指 Betti 数.)

利用关于伪全纯曲线的已知结果, 我们可以推出定理中流形 $X$ 的 Seiberg-Witten 不变量的限制. 详见第 4 节.

对于 $b_2^+=1$ 的流形也可推出某些结论. 特别的, (在 Gromov 的一个定理[G]的帮助下)
我们可得到
 

定理. 流形 $\mathbb{C}P^2$ (在辛同胚意义下)具有惟一的辛结构.

我们会在后面讨论这个定理以及我们本文所述等价关系的其他一些推论. 除简短的描述外, 我们将在[T1]中给出这两个定理以及下面的一些断言的证明.

本文余下部分具体组织如下. 第一节回顾 Seiberg-Witten 不变量的定义. 第二节我们特别讨论辛流形的 Seiberg-Witten}不变量. 第三节定义辛流形的相关 Gromov 不变量. (此不变量是由 Ruan 在[R]中定义的.) 第四节叙述主要定理---Seiberg-Witten 不变量与 Gromov 不变量是一致的. 这一节也详细论述了主要定理的推论. 第五节概述了主要定理的证明的策略. 最后一节包含了关于 Seiberg-Witten不变量在非辛流形世界中意义的一些简要推测.
 

References:

    原文: THE SEIBERG-WITTEN GROMOV INVARIANTS
    作者: CLIFFORD HENRY TAUBES
    杂志: Mathematical Research Letters 2, 221-238 (1985)