问题及解答

压缩映射原理对于构造线性方程和非线性方程的解很有用.

【定义】设 $(X,d)$ 是一个度量空间, 映射 $T:\ X\rightarrow X$ 称为是(严格)压缩映射(contraction mapping, or contraction), 若存在一个常数 $c$, $(0\leq c < 1)$, 使得

\[
d(T(x),T(y))\leq c d(x,y)
\]

对所有 $x,y\in X$ 成立.

Thm. 设 $\bar{B}^n$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的单位闭球. 且 $T:\ \bar{B}^n\rightarrow\bar{B}^n$ 是严格压缩映射. 则 $T$ 存在惟一的不动点. 即存在惟一一点 $x\in\bar{B}^n$, 使得 $T(x)=x$.

Remark:

这个定理可以推广到一般的度量空间.

Thm. 设 $(X,\rho)$ 是一个完备的度量空间, $T$ 是 $(X,\rho)$ 到其自身的一个(严格)压缩映射, 则 $T$ 在 $X$ 上存在惟一的不动点.

一般来说, 要得到不动点的存在性和惟一性, 我们得要求映射是严格压缩映射. 比如, $X=\{0,1\}$ 是离散度量空间, 度量定义为 $d(0,1)=1$. 令 $T(0)=1$, $T(1)=0$, 则 $T$ 是非严格压缩映射, 但不存在不动点. 若令 $T$ 是恒同映射, 则每一点都是不动点.

压缩映射定理是特殊的不动点定理.

值得注意的是, 某些情况下, 如果压缩映射中常数 $c$ 放宽至 $0\leq c\leq 1$ , 也可推出存在不动点, 但惟一性不成立. （此时也称这样的映射为压缩映射，而将 $c < 1$ 的映射称为严格压缩映射.）

比如:

Claim: 设 $K$ 是 $n$ 维欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 中的紧致凸子集, $T:\ K\rightarrow K$ 满足

\[
d(T(x),T(y))\leq c d(x,y),\quad\forall\ x,y\in B.
\]

这里 $c\in [0,1]$. 则 $T$ 也存在不动点.

如果要存在不动点, 更一般的, 映射只要求连续就可以了, 在拓扑学中有这样的定理. 

Brouwer 不动点定理: 对于 $\mathbb{R}^n$ 中的单位闭球 $\bar{B}^n$, 只要 $T:\ \bar{B}^n\rightarrow\bar{B}^n$ 是连续映射, 则 $T$ 必有不动点 $x\in\bar{B}^n$.

Brouwer 不动点定理是针对有限维空间的，可以将它推广到无穷维空间的情形，这就是 Schauder 不动点定理.

Schauder 不动点定理: 设 $C$ 是 $B^*$ 空间 $\mathcal{X}$ 中的一个闭凸子集, $T:\ C\rightarrow C$ 连续且 $T(C)$ 列紧, 则 $T$ 在 $C$ 上必有一个不动点.

Schauder 不动点定理的一个推论讲的是:

若 $C$ 是 $B^*$ 空间 $\mathcal{X}$ 中的一个有界闭凸子集, $T:\ C\rightarrow C$ 是紧的, 则 $T$ 在 $C$ 上必有不动点.

因此, 上面的 Claim 可以作为该推论在有限维欧氏空间时的特殊情形.

设 $(X,\rho)$ 是完备度量空间, 且映射 $T:\ X\rightarrow X$ 是严格压缩映射.

任取 $x_0\in X$. 考察迭代产生的序列 $x_{n+1}=T(x_n)$. ($n=0,1,2,\ldots$). 于是

\[
\rho(x_{n+1},x_n)=\rho(Tx_n,Tx_{n-1})\leq c\rho(x_n,x_{n-1})\leq\cdots\leq c^n\rho(x_1,x_0).
\]

从而对任意 $p\in\mathbb{N}$,

\[
\begin{split}
\rho(x_{n+p},x_n)&\leq\sum_{i=1}^{p}\rho(x_{n+i},x_{n+i-1})\\
&\leq\sum_{i=1}^{p}c^{n+i-1}\rho(x_1,x_0)\\
&=c^n(1+c+c^2+\cdots+c^{p-1})\rho(x_1,x_0)\\
&\leq\frac{c^n}{1-c}\rho(x_1,x_0)\rightarrow 0\ (n\rightarrow\infty)
\end{split}
\]

因此 $\{x_n\}$ 是一个基本列(即 Cauchy 列), 由于 $(X,\rho)$ 是完备的, 因此 $\{x_n\}$ 有极限. 不妨设 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=x^*$, 则可证明 $Tx^*=x^*$, 此即不动点.

事实上, 对于 $x_{n+1}=Tx_n$ 两边取极限, 根据 $T$ 的连续性即可导出.($T$ 而且是一致连续的, 因为是严格压缩映射.)

最后, 证明不动点的惟一性. 假设另有不动点 $x^{**}$, 则

\[
|x^*-x^{**}|=|Tx^*-Tx^{**}|\leq c|x^*-x^{**}|,
\]

由于 $0\leq c < 1$, 故推出 $x^*=x^{**}$.

证明参考了张恭庆、林源渠编著的《泛函分析讲义》上册, 北京大学出版社.

我们现在考虑第二个问题, 即当 $K$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的紧致凸子集时, 即使 $c$ 可以等于 1, 也有不动点.

任取 $a\in K$, 考虑映射

\[
T_n(x)=\frac{n-1}{n}T(x)+\frac{1}{n}T(a).
\]

于是

\[
\begin{split}
d(T_n(x),T_n(y))&=|T_n(x)-T_n(y)|\\
&=\biggl|\frac{n-1}{n}T(x)-\frac{n-1}{n}T(y)\biggr|\\
&=\frac{n-1}{n}|T(x)-T(y)|\\
&\leq\frac{n-1}{n}c|x-y|\\
\end{split}
\]

令 $\lambda_n=\frac{n-1}{n}c$, 即有, 映射 $T_n$ 是一个严格压缩映射, 因为其压缩系数为 $\lambda_n\in[0,1)$. 从而存在惟一的不动点 $b_n$. 即有

\[
b_n=T_n(b_n)=\frac{n-1}{n}T(b_n)+\frac{1}{n}T(a).
\]

由于 $\{b_n\}$ 是紧致集 $K$ 中的点列, 故存在收敛子列, 不妨仍记为 $b_n$, 且设收敛到 $b\in K$. 对于该子列, 当然也有上面的等式, 令 $n\rightarrow\infty$, 取极限, 得

\[
b=\lim_{n\rightarrow}\frac{n-1}{n}T(b_n)+0=\lim_{n\rightarrow}T(b_n)=T(\lim_{n\rightarrow}b_n)=T(b),
\]

因此 $b$ 是映射 $T$ 的不动点. 显然此时我们不能保证不动点的惟一性.

Q1. $K$ 的凸性用在哪?

Q2. 举例子说明 $K$ 的紧性和凸性都是必不可少的.