问题及解答

设

\[
f(x)=\begin{cases}
e^{-\frac{1}{x}},& x > 0,\\
0, & x\leq 0.
\end{cases}
\]

容易证明, $f$ 是一光滑函数, 并且在 $0$ 处的任意阶导数均为零. 更多的结果如下:

定理(Dan Henry):

(1) $|f^{(n)}(x)|\leq 2^n (n!)^2$, 对所有的 $x$ 和 $n$.

(2) 若 $0 < \varepsilon\leq 1$, 则
\[\frac{2}{1+\varepsilon}e^{\frac{\varepsilon}{1+\varepsilon}}=2-\delta < 2,\]

且对所有满足 $|x-\frac{1}{2n}|\geq\frac{\varepsilon}{2n}$ 的 $x$, 有

\[
|f^{(n)}(x)|\leq (2-\delta)^n (n!)^2
\]

(3) 当 $n\rightarrow\infty$ 时,
\[
f^{(n)}(\frac{1}{2n})=\frac{2^n (n!)^2}{n\pi}\bigl[\cos(\frac{\pi}{4}+n(1-\frac{\pi}{2}))+O(\frac{1}{n})\bigr]
\]

因此,

\[
\sup_{n,x}\biggl(\frac{|f^{(n)}(x)|}{(n!)^2}\biggr)^{\frac{1}{n}}=\limsup_{n\rightarrow\infty}\biggl(\frac{|f^{(n)}(\frac{1}{2n})|}{(n!)^2}\biggr)^{\frac{1}{n}}=2.
\]

References:

http://www.ime.usp.br/map/dhenry/danhenry/pdf/0021.pdf

Dan Henry 的手稿