问题及解答

设 $(M,g)$ 是可定向闭的 $4$ 维黎曼流形, 记 $\Omega^2=\Omega^2(M)$ 是 $M$ 上的 $2$ 次微分形式组成的向量空间. 由 $g$ 定义的 Hodge 算子限制在 $\Omega^2$ 上的作用 $*_g:\ \Omega^2\rightarrow\Omega^2$ 显然满足 $*_g^2=\text{id}_{\Lambda^2}$. 根据 $*_g$ 的特征值, 可以将 $\Omega^2$ 分解为下面两个子空间的直和
\[
\Omega^2=\Omega^{2,+}\oplus\Omega^{2,-}
\]
其中 $\Omega^{2,+}:=\{\alpha\in\Omega^2\mid *_g\alpha=\alpha\}$, $\Omega^{2,-}:=\{\alpha\in\Omega^2\mid *_g\alpha=-\alpha\}$. 它们分别被称为 $*_g$ 在 $\Omega^2$ 上的自对偶和反自对偶空间.

任取某个 $1$ 形式 $\gamma\in\Omega^1(M)$, 令 $\theta=P_g^{+}d\gamma$, 其中 $P_g^{+}$ 定义为下面的映射
\[
P_g^{+}=\frac{1}{2}(1+*_g):\ \Omega^2\rightarrow\Omega^{2,+}
\]
证明: $\theta$ 是闭形式当且仅当 $\gamma$ 是闭形式.

充分性是显然的, $d\gamma=0$, 根据 $\theta$ 的定义, 即知 $\theta=0$.

下证必要性. 设 $d\theta=0$.

由于 $d\gamma\in\Omega^2$, 因此可以分解为 $d\theta=\alpha+\beta$, 其中 $\alpha\in\Omega^{2,+}$, $\alpha\in\Omega^{2,-}$.

此外, 容易看到 $\alpha$ 实际上就是 $\theta$. 事实上

\[
\begin{split}
\theta&=P_g^{+}d\gamma=\frac{1}{2}(1+*_g)d\gamma\\
&=\frac{1}{2}(1+*_g)(\alpha+\beta)\\
&=\frac{1}{2}(\alpha+\beta+\alpha-\beta)\\
&=\alpha
\end{split}
\]

故 $d\gamma=\theta+\beta$. 由于 $d\theta=0$, 故推出 $d\beta=0$.

下面计算 $d\gamma$ 在微分形式空间 $\Omega^*(M)$ 中的模长平方. (下面式子中的 $\omega$ 是 $M$ 上的体积形式.)

\[
\begin{split}
\|d\gamma\|^2_{L^2(M)}&=(d\gamma,d\gamma)=\int_M\langle d\gamma,d\gamma\rangle\omega=\int_M d\gamma\wedge * d\gamma\\
&=\int_M d\gamma\wedge *(\alpha+\beta)=\int_M d\gamma\wedge (\alpha-\beta)\\
&=\int_M (d\gamma\wedge\theta-d\gamma\wedge\beta)\\
&=\int_M d(\gamma\wedge\theta)-\int_M d(\gamma\wedge\beta)\\
&=0
\end{split}
\]

上面倒数第二个等号用到了 $d\theta=0=d\beta$, 最后一个等号是利用了 Stokes 定理, 注意条件中的流形是闭的.