问题

设 $(M,g)$ 是可定向闭的 $4$ 维黎曼流形, 记 $\Omega^2=\Omega^2(M)$ 是 $M$ 上的 $2$ 次微分形式组成的向量空间. 由 $g$ 定义的 Hodge 算子限制在 $\Omega^2$ 上的作用 $*_g:\ \Omega^2\rightarrow\Omega^2$ 显然满足 $*_g^2=\text{id}_{\Lambda^2}$. 根据 $*_g$ 的特征值, 可以将 $\Omega^2$ 分解为下面两个子空间的直和
\[
\Omega^2=\Omega^{2,+}\oplus\Omega^{2,-}
\]
其中 $\Omega^{2,+}:=\{\alpha\in\Omega^2\mid *_g\alpha=\alpha\}$, $\Omega^{2,-}:=\{\alpha\in\Omega^2\mid *_g\alpha=-\alpha\}$. 它们分别被称为 $*_g$ 在 $\Omega^2$ 上的自对偶和反自对偶空间.

任取某个 $1$ 形式 $\gamma\in\Omega^1(M)$, 令 $\theta=P_g^{+}d\gamma$, 其中 $P_g^{+}$ 定义为下面的映射
\[
P_g^{+}=\frac{1}{2}(1+*_g):\ \Omega^2\rightarrow\Omega^{2,+}
\]
证明: $\theta$ 是闭形式当且仅当 $\gamma$ 是闭形式.