Vitali 集
Vitali 集指 $[0,1]$ 的一个子集 $V$, 每个实数 $r\in\mathbb{R}$ 对应到 $V$ 中的一个数 $v$, 满足 $v-r\in\mathbb{Q}$.
也就是说, 如果在 $\mathbb{R}$ 上定义一个等价关系: $a\sim b\Leftrightarrow a-b\in\mathbb{Q}$. 然后将每个等价类取一个代表元出来构成的集合, 就称为 Vitali 集合.
从商群的角度. $\mathbb{Q}$ 是 $\mathbb{R}$ 的一个加法子群. 因此可构造加法商群 $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$.
\[\mathbb{R}/\mathbb{Q}=\{\mathbb{Q}+r\mid r\in\mathbb{R}\}.\]
每个集合 $\mathbb{Q}+r$ 与 $[0,1]$ 相交非空. 且 $\bigcup_{r\in\mathbb{R}}\mathbb{Q}+r=\mathbb{R}$. 因此根据选择公理, 存在 $[0,1]$ 中的一个子集, 记作 $V$, 它恰好包含 $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ 中每个元素的代表元. 因此 Vitali 集是存在的. (但其存在性是基于选择公理.)
Thm(Vitali 定理). Vitali 集是存在的, 而且有不可数个.
Claim1. 每个 Vitali 集是不可数的. 并且对 $\forall\ u,v\in V$, $u\neq v$, 有 $u-v\not\in\mathbb{Q}$.
Pf. 若 Vitali 集是可数的, 则 $\bigcup\{\mathbb{Q}+r_i\mid i=1,2,\ldots\}$ 是可数集, 与 $\mathbb{R}$ 不可数矛盾.
后者也是显然的, 如果 $u-v\in\mathbb{Q}$, 则 $u,v$ 位于同一等价类中.
Claim2. Vitali 集是不可测集.
Pf.(反证法) 假设 Vitali 集是可测的, 令 $q_1,q_2,\ldots$ 是 $[-1,1]$ 中的所有有理数. 注意到平移集 $V_k:=V+q_k=\{v+q_k\mid v\in V\}$ 两两不相交. (否则若存在 $u,v\in V$ 使得 $u+q_i=v+q_j$, 则 $u-v\in\mathbb{Q}$, 矛盾.)
进一步, 注意到
\[[0,1]\subset\bigcup_k V_k\subset [-1,2],\]
其中第二个包含关系是显然的. 第一个包含关系是因为, $\forall\ r\in[0,1]$, 设 $r$ 所在的等价类是 $v$, 即 $v=[r]$. 则 $r-v=q$, $q\in [-1,1]\cap\mathbb{Q}$. 即 $r=v+q$ 包含在某个 $V_k$ 中, 因此 $[0,1]\subset\bigcup_k V_k$.
对这些包含关系应用 Lebesgue 测度的 $\sigma$-可加性, 得
\[1\leqslant\sum_{k=1}^{\infty}\lambda(V_k)\leqslant 3.\]
而 Lebesgue 测度是平移不变的, $\lambda(V_k)=\lambda(V)$, 因此 $1\leq\sum_{k=1}^{\infty}\lambda(V)\leq 3$. 这是不可能的. 因此 $V$ 不是可测集.
换句话说, Lebesgue 测度 $\lambda$ 并非对每个集合都定义一个值.
References: