问题及解答

设 $\Gamma$ 为椭圆抛物面 $z=3x^2+4y^2+1$, 从原点作 $\Gamma$ 的所有切平面, 求形成的切锥面方程.

当考虑平面 $x=0$ 去截 $\Gamma$ 时, 可得 $x=0$ 平面内的抛物线方程为 $z=4y^2+1$. 令切线为 $z=ky$, 代入得 $4y^2-ky+1=0$. 由于相切, 令 $\Delta=0$, 即得 $k=4$. 于是切线方程为

\[
\left\{
\begin{aligned}
z&=4y,\\
x&=0.
\end{aligned}
\right.
\]

下面用平面 $y=kx$ 去截 $\Gamma$, 

\[
\left\{
\begin{aligned}
z&=3x^2+4y^2+1,\\
y&=kx,
\end{aligned}
\right.\quad\Rightarrow\quad
z=(3+4k^2)x^2+1.
\]

在平面 $y=kx$ 中, 设抛物线的切线为 $\ell:\ z=ht$, 其中 $t=\sqrt{1+k^2}x$. 联系这两个方程,

\[
\left\{
\begin{aligned}
z&=(3+4k^2)x^2+1,\\
z&=h\sqrt{1+k^2}x,
\end{aligned}
\right.\quad\Rightarrow\quad
(3+4k^2)x^2-h\sqrt{1+k^2}x+1=0.
\]

由于是相切, 令 $\Delta=0$, 得

\[
h^2(1+k^2)-4(3+4k^2)=0.
\]

故 $h\sqrt{1+k^2}=2\sqrt{3+4k^2}$. 于是切线 $\ell$ 为

\[
\left\{
\begin{aligned}
z&=h\sqrt{1+k^2}x=2\sqrt{3+4k^2}x,\\
y&=x.
\end{aligned}
\right.
\]

于是

\[
z=2\sqrt{3x^2+4k^2 x^2}=2\sqrt{3x^2+4y^2}.
\]

此即为切锥面方程.

(法二)

设 $(x,y,z)$ 为切锥面上的点(非原点). 则 $t(x,y,z)$ 是切线上的点. 存在唯一的 $t$ 使得 $t(x,y,z)$ 落在椭圆抛物面上.

于是有

\[
tz=(3x^2+4y^2)t^2+1.
\]

即 $(3x^2+4y^2)t^2-tz+1=0$. 这是一个关于 $t$ 的二次方程, 有唯一解. 故令 $\Delta=0$, 得

\[
z^2-4(3x^2+4y^2)=0.
\]

此即所求的切锥面方程.