问题及解答

设 $\Gamma$ 为抛物线, $P$ 是与焦点位于抛物线同侧的一点, 过 $P$ 的直线 $L$ 与 $\Gamma$ 围成的有界区域的面积记为 $A(L)$.

证明: $A(L)$ 取最小值当且仅当 $P$ 恰为 $L$ 被 $\Gamma$ 所截出的线段的中点.

不妨设抛物线方程为 $y=x^2$, $P=(x_0,y_0)$. $P$ 与焦点在抛物线的同侧, 故 $y_0 > x_0^2$.

设 $L$ 的方程为 $y=k(x-x_0)+y_0$. $L$ 与 $\Gamma$ 的交点的 $x$ 坐标满足 $x^2=k(x-x_0)+y_0$. 即

\[
x^2-kx+kx_0-y_0=0.
\]

设两个解为 $x_1 < x_2$. 于是根据韦达定理,

\[
x_1+x_2=k,\quad x_1x_2=kx_0-y_0.
\]

$L$ 与抛物线所围区域的面积是

\[
\begin{split}
A(L)&=\int_{x_1}^{x_2}\Bigl[k(x-x_0)+y_0-x^2\Bigr]dx\\
&=\Bigl[\frac{1}{2}kx^2+(y_0-kx_0)x-\frac{1}{3}x^3\Bigr]\biggr|_{x_1}^{x_2}\\
&=\frac{1}{2}k(x_2^2-x_1^2)+(y_0-kx_0)(x_2-x_1)-\frac{1}{3}(x_2^3-x_1^3)\\
&=\frac{1}{2}(x_2+x_1)(x_2^2-x_1^2)-x_1x_2(x_2-x_1)-\frac{1}{3}(x_2^3-x_1^3)\\
&=(x_2-x_1)\Bigl[\frac{1}{2}(x_2+x_1)^2-x_1x_2-\frac{1}{3}(x_2^2+x_2x_1+x_1^2)\Bigr]\\
&=(x_2-x_1)\Bigl[\frac{1}{2}(x_2^2+x_1^2)-\frac{1}{3}(x_2^2+x_2x_1+x_1^2)\Bigr]\\
&=(x_2-x_1)\frac{1}{6}\Bigl[(x_2^2+x_1^2)-2x_2x_1\Bigr]\\
&=\frac{1}{6}(x_2-x_1)^3.
\end{split}
\]

于是

\[
\begin{split}
36A(L)^2&=(x_2-x_1)^6=\bigl((x_1+x_2)^2-4x_1x_2\bigr)^3\\
&=(k^2-4kx_0+4y_0)^3\\
&=\bigl((k-2x_0)^2+4(y_0-x_0^2)\bigr)^3\\
& > 64(y_0-x_0^2)^3.
\end{split}
\]

注意 $y_0-x_0^2 > 0$. 等号成立当且仅当 $k=2x_0$, 即 $x_1+x_2=2x_0$. 得证.