问题及解答

设 $\Gamma$ 是三维欧氏空间中一张平面上的一条抛物线, $\ell$ 是 $\Gamma$ 的准线. 将 $\Gamma$ 绕其准线 $\ell$ 旋转一周, 得到旋转曲面 $\Sigma$.

求 $\Sigma$ 的两个主曲率的比值.

在空间选取坐标系, 使准线 $\ell$ 为 $z$-轴. 抛物线 $\Gamma$ 落在 $Oxz$ 平面内. 且设抛物线顶点为 $P=(p,0,0)$. 从而焦点为 $F=(2p,0,0)$.

由于抛物线上任意一点 $X=(x,0,z)$ 满足 $|XF|=x$, 因此得到 $(x-2p)^2+z^2=x^2$. 故抛物线方程为

\[x=p+\frac{1}{4p}z^2.\]

记这个 $x$ 关于 $z$ 的函数为 $f(z)=p+\frac{1}{4p}z^2$, 从而旋转曲面 $\Sigma$ 的方程为

\[\gamma=\gamma(z,\theta)=(f(z)\cos\theta,f(z)\sin\theta,z),\quad\theta\in[0,2\pi],\quad z\in\mathbb{R}.\]

\[
\begin{aligned}
\gamma_{\theta}&=(-f(z)\sin\theta,f(z)\cos\theta,0),\\
\gamma_z&=(f'(z)\cos\theta,f'(z)\sin\theta,1).
\end{aligned}
\]

从而

\[
E=\gamma_{\theta}\cdot\gamma_{\theta}=f^2,\quad F=\gamma_{\theta}\cdot\gamma_z=0,\quad G=r_z\cdot r_z=1+{f'}^2.
\]

曲面的法向量可取为

\[
\gamma_{\theta}\times\gamma_z=
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} &\vec{k}\\
-f\sin\theta & f\cos\theta & 0\\
f'\cos\theta & f'\sin\theta & 1\\
\end{vmatrix}
=f(\cos\theta,\sin\theta,-f')
\]

因此单位法向量是

\[\vec{n}=\frac{1}{\sqrt{1+{f'}^2}}(\cos\theta,\sin\theta,-f').\]

另一方面

\[
\begin{aligned}
\gamma_{\theta\theta}&=(-f\cos\theta,-f\sin\theta,0),\\
\gamma_{\theta z}&=(-f'\sin\theta,f'\cos\theta,0),\\
\gamma_{zz}&=(f''\cos\theta,f''\sin\theta,0).\\
\end{aligned}
\]

于是

\[
L=\gamma_{\theta\theta}\cdot\vec{n}=\frac{-f}{\sqrt{1+{f'}^2}},\quad M=\gamma_{\theta z}\cdot\vec{n}=0,\quad M=\gamma_{zz}\cdot\vec{n}=\frac{f''}{\sqrt{1+{f'}^2}}.
\]

因为 $k_1=L/E$, $k_2=N/G$, 因此

\[
\frac{k_1}{k_2}=\frac{LG}{EN}=\frac{-\frac{f}{\sqrt{1+{f'}^2}}\cdot(1+{f'}^2)}{f^2\cdot\frac{f''}{\sqrt{1+{f'}^2}}}=-\frac{1+{f'}^2}{ff''}=-2
\]

注: 根据 $k_1$ 和 $k_2$ 的不同顺序, 也可以有 $k_1/k_2=-1/2$.

Reference:

第五届中国大学生数学竞赛决赛三、四年级试卷解答.  2014年3月.