设 $n$ 阶方阵 $A,B$ 满足 $A=\frac{1}{2}(B+I)$, 证明 $A^2=A\Leftrightarrow B^2=I$.
设 $n$ 阶方阵 $A,B$ 满足 $A=\frac{1}{2}(B+I)$, 证明 $A^2=A\Leftrightarrow B^2=I$.
这里 $I$ 指 $n$ 阶单位矩阵.
设 $n$ 阶方阵 $A,B$ 满足 $A=\frac{1}{2}(B+I)$, 证明 $A^2=A\Leftrightarrow B^2=I$.
这里 $I$ 指 $n$ 阶单位矩阵.
1
\[
\begin{split}
A^2=A&\Leftrightarrow \frac{1}{2}(B+I)\cdot\frac{1}{2}(B+I)=\frac{1}{2}(B+I)\\
&\Leftrightarrow(B+I)^2=2(B+I)\\
&\Leftrightarrow B^2+2B+I=2B+2I\\
&\Leftrightarrow B^2=I.
\end{split}
\]