问题及解答

考虑如下无限矩阵, 每一行都是等差数列, 公差依次是 3,5,7,9,11,...
\begin{matrix} 4&7&10&13&16&\cdots\\ 7&12&17&22&27&\cdots\\ 10&17&24&31&38&\cdots\\ 13&22&31&40&49&\cdots\\ 16&27&38&49&60&\cdots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots& \end{matrix} 证明 $2n+1$ 是素数当且仅当 $n$ 不在上面的矩阵中.

该无限矩阵的所有元素是下面的集合 $T$ :

\[T=\{n\in\mathbf{N}\mid n=(3m+1)+k(2m+1), m=1,2,\ldots; k=0,1,2,\ldots\}\]

于是该命题等价于: $2n+1$ 是合数当且仅当 $n\in T$. 任取 $n\in T$, 有

\[2n+1=2(3m+1)+2k(2m+1)+1=(2m+1)(2k+3).\]

证毕.