问题及解答

设 $I=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx$, 求此定积分的值.

\[
\begin{split}
I^2&=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx\cdot\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-y^2}dy\\
&=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(x^2+y^2)}dxdy\\
&=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{+\infty}e^{-r^2}rdrd\theta\\
&=2\pi\int_{0}^{+\infty}e^{-r^2}rdr\\
&=\pi\int_{0}^{+\infty}e^{-r^2}dr^2\\
&=\pi\int_{0}^{+\infty}e^{-t}dt\\
&=\pi\cdot(-e^{-t})\biggr|_{0}^{+\infty}\\
&=\pi.
\end{split}
\]

因此 $I=\sqrt{\pi}$.