问题及解答

\[
\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos\alpha.
\]

若 $a$ 很小, 则 $\cos a\approx 1-\frac{a^2}{2}$. 因此, 当 $a,b,c\rightarrow 0$ 时, 球面的第一余弦定律转化为欧氏空间的余弦定律.

注: 此定律有两种证明方法.

设 $O$ 是球面的中心. 记 $e_a=\overrightarrow{OA}$, $e_b=\overrightarrow{OB}$, $e_c=\overrightarrow{OC}$. 向量 $e_b$ 和 $e_c$ 到 $e_a$ 的投影分别是 $e_a\cos c$ 和 $e_a\cos b$. 因此, 向量 $u=e_b-e_a\cos c$ 和 $v=e_c-e_a\cos b$ 均垂直于 $e_b$, 它们的长度分别是 $\sin c$ 和 $\sin b$, 且夹角是 $\alpha$. 因此,

\[
\begin{split}
\cos a&=(e_b,e_c)=(u+e_a\cos c,v+e_a\cos b)\\
&=(u,v)+\cos c\cos b=\sin b\sin c\cos\alpha+\cos b\cos c.
\end{split}
\]

（法二） 记向量 $x,y$ 之间的夹角为 $\theta(x,y)$,

利用公式

\[
(y\times z)\cdot(x\times z)=
\begin{vmatrix}
y\cdot x & y\cdot z\\
z\cdot x & z\cdot z
\end{vmatrix}
\]

这推出

\[
|y\times z|\cdot|x\times z|\cos\theta(y\times z,x\times z)=|y|\cdot|x|\cos\theta(y,x)\cdot|z|^2-|y|\cdot|z|\cos\theta(y,z)\cdot|z|\cdot|x|\cos\theta(z,x).
\]

从而

\[
\sin a\cdot\sin b\cdot\cos\bigl[\pi-\theta(y\times z,z\times x)\bigr]=\cos\theta(y,x)-\cos\theta(y,z)\cdot\cos\theta(z,x).
\]

于是

\[
\sin a\cdot\sin b\cdot\cos(\pi-(\pi-\gamma))=\cos c-\cos a\cos b,
\]

即

\[
\sin a\sin b\cos\gamma=\cos c-\cos a\cos b,
\]

或写成

\[
\cos\gamma=\frac{\cos c-\cos a\cos b}{\sin a\sin b}.
\]