问题及解答

 求解 $y(y'')+1=(y')^2$, 这里 $y=y(x)$.

 这是二阶微分方程, 方程中不含自变量 $x$, 故可设 $p=y'$ (即 $p(y)=y'$).

从而 $y''=p\cdot\frac{dp}{dy}$. 代入方程, 得

\[
yp\cdot\frac{dp}{dy}+1=p^2,
\]

整理得

\[
\frac{pdp}{p^2-1}=\frac{dy}{y},
\]

两边取不定积分, 得

\[
\begin{split}
\Rightarrow&\frac{1}{2}\int\frac{dp^2}{p^2-1}=\int\frac{dy}{y}\\
\Rightarrow&\frac{1}{2}\ln|p^2-1|=\ln|y|+C_1\\
\Rightarrow& p^2-1=Cy^2
\end{split}
\]

这里 $C\neq 0$. 再将 $p=y'$ 代入, 得

\[
(y')^2=1+Cy^2
\]

由于 $y=\pm x$ 是原方程得解, 现在将它代入上式, 则得 $1=1+Cy^2$, 从而 $C=0$. 因此有 $y'=\pm 1$.

故 $y=\pm x+C$. 这就是原方程的解.

$y''=p\cdot\frac{dp}{dy}$, 事实上, 

\[
\frac{dp}{dy}=\frac{d(y')}{dy}=(y')'_x\cdot\frac{dx}{dy}=y''\frac{1}{\frac{dy}{dx}}=\frac{y''}{p}.
\]