若 $2^n+1$ 是素数($ n > 1 $), 则 $n$ 是 2 的方幂.
但逆命题不成立, 请举出反例.
Answer
问题及解答
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假设 $n$ 不是 2 的方幂. 则存在大于 2 的素数 $p$, 使得 $n=2^k\cdot p^l\cdot m$, 从而
\[2^n+1=2^{2^k\cdot p^l\cdot m}+1=(2^{2^k\cdot p^{l-1}\cdot m})^p+1\]
可以因式分解. 这与条件 $2^n+1$ 是素数矛盾. 故 $n=2^k$.
逆命题不成立, 反例有:
\[641|2^{32}+1\]
事实上, $2^{32}+1=4294967297=641*6700417$.