问题及解答

计算

\[
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(\sin x+\sqrt{1+x^2})\sin^7 xdx.
\]

Hint: 对于积分区间对称的定积分, 首先关注一下被积函数(或者其中一部分)是否是奇函数, 如果是, 就不需要计算了.

由于 $\sin^7 x\sqrt{1+x^2}$ 是 $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ 上的奇函数, 所以这部分的定积分为零. 因此原积分等于

\[
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin^8 xdx=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^8 xdx.
\]

根据问题 43, 可知,

\[
I_8=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^8 xdx=\frac{7!!}{8!!}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{35\pi}{256}.
\]

所以原积分等于

\[
2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^8 xdx=2\cdot\frac{35\pi}{256}=\frac{35\pi}{128}.
\]