问题及解答

设 $0 < x < \frac{\pi}{2}$, 求证 $\cos^2 x+x\sin x< 2$.

由于 $x\in(0,\frac{\pi}{2})$, 故有

\[
\begin{split}
\cos^2 x+x\sin x&\leqslant\cos x+x\sin x\\
&=\sqrt{1+x^2}(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\cos x+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\sin x)\\
&=\sqrt{1+x^2}\sin(x+\theta)\\
&\leqslant\sqrt{1+x^2},
\end{split}
\]

因此只要能证明 $\sqrt{1+x^2}<2$ 即可. 而这等价于 $x^2 < 3$. 这对于 $x\in(0,\frac{\pi}{2})$ 显然是成立的.