问题及解答

计算有双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 与 $y=\pm b$ 所围成区域绕 $y$ 轴旋转所形成的旋转体的体积.

\[
V=\int_{-b}^{b}S(y)dy,
\]

其中 $S(y)=\pi (r(y))^2$, $r(y)$ 就是双曲线上点的 $x$ 坐标的绝对值. 即

\[
S(y)=\pi (r(y))^2=\pi (x(y))^2=\pi a^2(1+\frac{y^2}{b^2}).
\]

从而

\[
V=\int_{-b}^{b}\pi a^2(1+\frac{y^2}{b^2})dy=\frac{8}{3}\pi a^2b.
\]