问题及解答

曲线 $y=ax^2\ (0< a \leqslant 1)$ 将以 $(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)$ 为顶点的正方形分成上、下两部分. 上半部分绕 $y$ 轴旋转所得体积为 $V_1$, 下半部分绕 $x$ 轴旋转, 所得体积为 $V_2$, 问 $a$ 为何值时, $V=V_1+V_2$ 最小.

因为 $a\in(0,1]$, 所以

\[
\begin{split}
V_1&=\int_{0}^{a}\pi x^2(y)dy+\pi 1^2\cdot(1-a)\\
&=\int_{0}^{a}\pi\frac{y}{a}dy+\pi(1-a)\\
&=\pi(1-\frac{a}{2}).
\end{split}
\]

\[
\begin{split}
V_2&=\int_0^1 S(x)dx=\int_0^{1}\pi y^2(x)dx\\
&=\int_0^{1}\pi a^2 x^4dx\\
&=\frac{1}{5}\pi a^2.
\end{split}
\]

因此

\[
V_1+V_2=\pi(\frac{1}{5}a^2-\frac{1}{2}a+1)=\pi\Bigl[\frac{1}{5}(a-\frac{5}{4})^2+\frac{11}{16}\Bigr]
\]

故当 $a=1$ 时, $V_1+V_2$ 最小.