设 $f: M\rightarrow N$ 为微分流形之间的光滑映射, 证明 $f$ 的图像(graph)
\[
\Gamma_f=\{(p,q)\in M\times N\mid f(p)=q\}
\]
为乘积流形 $M\times N$ 的正则子流形.
先证明特殊情形.
给定一光滑函数 $f:\ \mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m$, 证明
\[
\Gamma_f=\text{graph}(f)=\{(x,f(x))\in\mathbb{R}^{n+m}\mid x\in\mathbb{R}^n\}
\]
是 $\mathbb{R}^{n+m}$ 的一个正则子流形.
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定义映射
\[
G:\ \mathbb{R}^{n+m}\rightarrow\mathbb{R}^m,\quad G(x,y)=y-f(x).
\]
因此, $\Gamma_f$ 是 $G$ 的一个零水平集(zero-level set). 即 $\Gamma_f=\{(x,y)\in\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m\mid G(x,y)=0\}$.
若记 $f=(f_1,\ldots,f_m)$, 则
\[
G:\ (x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m)\mapsto (y_1-f_1(x_1,\ldots,x_n),\ldots,y_m-f_m(x_1,\ldots,x_n)).
\]
计算 $G$ 的 Jacobi 矩阵, 易见为
\[
J_G=[-J_f\mid I_m],
\]
其中 $J_G$ 是 $f$ 的 Jacobi 矩阵($m\times n$ 型). 于是 $\text{rank}J_G=m$.
根据常秩映射定理(问题1617), 可知 $\Gamma_f=G^{-1}(0)$ 是 $\mathbb{R}^{n+m}$ 的一个正则子流形.
这里 $0$ 是 $G$ 的正则值.
References:
http://math.stackexchange.com/questions/245165/the-graph-of-a-smooth-real-function-is-a-submanifold
根据上面关于 $\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m$ 的论述, 对于 $f:M\rightarrow N$, 局部上, 可定义相应的局部 $G_{loc}$ 映射:
\[
G_{loc}:\ \mathbb{R}^{n+m}\rightarrow\mathbb{R}^m,\quad G_{loc}(x,y)=y-f(x).
\]
$0$ 是其正则值. 因此, 对于任意 $p\in M$, 任给 $q=f(p)$ 的局部坐标邻域 $(V,\psi)$ (不妨设 $\psi(q)=0$), 存在 $p$ 点的局部坐标图卡 $(U,\varphi)$, 使得 $G(U\times V)\subset V$.
从而可定义映射
\[
G:\ M\times N\rightarrow N,\quad (p,q)\mapsto \psi^{-1}\bigl(\psi(q)-\psi(f(p))\bigr).
\]
并且 $q$ 是 $G$ 的正则值. 根据正则值原像定理, 可知 $\Gamma_f=G^{-1}(q)$ 是正则子流形.