问题及解答

证明 $x^2+y^2=7z^2$ 没有非零有理数解.

如果改成 $x^5+y^5=7z^5$, 目前还不知道如何解决.

假设 $x,y,z$ 是有理数, 满足方程 $x^2+y^2=7z^2$.  记为(1).  设 $x,y,z$ 的最小公分母是 $n$, 于是可以写为 $x=\frac{a}{n}, y=\frac{b}{n}, z=\frac{c}{n}$. 这里 $a,b,c,n$ 都是整数. 将它们代入方程 (1), 得

\[
\bigl(\frac{a}{n}\bigr)^2+\bigl(\frac{b}{n}\bigr)^2=7\bigl(\frac{c}{n}\bigr)^2,
\]

两边乘以 $n^2$, 得 $a^2+b^2=7c^2$. 记为 (2).

如果 $a,b,c$ 具有公因子 $m$, 则将 $\frac{a}{m}, \frac{b}{m}, \frac{c}{m}$ 代入方程 (2) 仍然适合. 因此可不妨假设 $a,b,c$ 无公因子.

下面将方程 (2) 两边模 7. 记 $\bar{a}=a\mod 7$, $\bar{b}=b\mod 7$. 由于 (2) 的右边始终是 7 的倍数, 因此有

\[
\bar{a}^2+\bar{b}^2=0.\tag{3}
\]

而 $\bar{a}$ 和 $\bar{b}$ 均有 $0,1,2,3,4,5,6$ 这七种可能取值, 因此剩下的事情就是在 49 种可能中寻找可能的解.

注意到 $\bar{a},\bar{b}\in\{0,1,4,2\}$. 因此很容易看到仅当 $\bar{a}=\bar{b}=0$ 时才满足方程 (3).

这说明 $a=7k$, $b=7h$. 代入 (2), 可知 $7\mid c^2$. 于是 $c$ 也是 7 的倍数, 这与我们的假设 "$a,b,c$ 没有公因子" 是矛盾的.

因此, 原方程 (1) 没有非零有理数解.

References:

Jordan S. Ellenberg,  IV.5 Arithmetic Geometry  [pdf]