问题及解答

证明 $2^p-1\equiv 7\bmod 12$, 其中 $p$ 为大于 1 的奇数.

也就是说, 从小时来看, 从 0 点经过 $2^p-1$ 小时, 总是 7 时. (这里 $p$ 为大于 1 的奇数.)

当 $p=3,5,7$ 时可以直接验证. 如下:

\[
\begin{aligned}
2^3-1\equiv 7\bmod 12,\\
2^5-1\equiv 31\equiv 7\bmod 12,\\
2^7-1\equiv 127\equiv 7\bmod 12.\\
\end{aligned}
\]

假设 $2^p-1\equiv 7\bmod 12$ 成立. 设 $2^p=12K+8$, 于是

\[
2^{p+2}-1=4\cdot 2^p-1=4(12K+8)-1=48K+31\equiv 7\bmod 12.
\]

因此得证.