问题及解答

\[
\int_1^3 \sqrt{(3-x)(x-1)}dx
\]

令 $x=2-t$, $t\in[-1,1]$. 于是 $3-x=1+t$, $x-1=1-t$. 原积分化为

\[
\int_{1}^{-1}\sqrt{(1+t)(1-t)}\cdot(-1)dt=\int_{-1}^{1}\sqrt{(1+t)(1-t)}dt=\sqrt{(1+t)(1-t)}\sqrt{1-t^2}dt=2\int_0^1\sqrt{(1+t)(1-t)}dt.
\]

令 $t=\sin\theta$, 这里 $\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]$. 则

\[
\begin{split}
&=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-\sin^2\theta}d\sin\theta\\
&=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos\theta\cdot\cos\theta d\theta=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2\theta d\theta\\
&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos(2\theta))d\theta\\
&=\frac{\pi}{2}+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos 2\theta d\theta\\
&=\frac{\pi}{2}.
\end{split}
\]