求极限
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}
\]
[Hint] 用积分
或者求
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}
\]
如果不使用积分, 怎么算?
利用此极限, 求
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[n]{(a+b)(2a+b)\cdots(na+b)}}{n},
\]
这里 $a,b$ 均为正数.
注: 对于 $\alpha > 0$,
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[n]{(1+\alpha)(2+\alpha)\cdots(n+\alpha)}}{n}
\]
与
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}
\]
的结果是一样的.
1
注意到
\[
\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}=e^{\ln\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}}
\]
因此只要求极限 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\ln\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$
\[
\begin{split}
\lim_{n\rightarrow\infty}\ln\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}&=\lim_{n\rightarrow\infty}\Bigl[\ln\sqrt[n]{n!}-\ln n\Bigr]\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\Bigl[\frac{1}{n}(\ln 1+\ln 2+\cdots+\ln n)-\ln n\Bigr]\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(\ln i-\ln n)\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\ln\frac{i}{n}\\
&=\int_0^1 \ln x dx\\
&=-1,
\end{split}
\]
因此, 原极限是 $e^{-1}$.
2
回忆在证明极限 $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}(1+\frac{1}{n})^n$ 存在的证明过程中, 知 $\{(\frac{n+1}{n})^n\}$ 是严格单调递增, 而 $\{(\frac{n+1}{n})^{n+1}\}$ 是严格单调递减. 即有
\[
(\frac{n+1}{n})^n < e < (\frac{n+1}{n})^{n+1},\quad\forall\ n=1,2,\ldots.
\]
因此
\[
\begin{aligned}
(\frac{n+1}{n})^n < &e < (\frac{n+1}{n})^{n+1},\\
(\frac{n}{n-1})^{n-1} < &e < (\frac{n}{n-1})^{n},\\
&\vdots\\
(\frac{4}{3})^3 < & e < (\frac{4}{3})^4,\\
(\frac{3}{2})^2 < & e < (\frac{3}{2})^3,\\
(\frac{2}{1})^1 < & e < (\frac{2}{1})^2.\\
\end{aligned}
\]
将这 $n$ 个式子相乘
\[
\frac{(n+1)^n}{n^n}\cdot\frac{n^{n-1}}{(n-1)^{n-1}}\cdot\frac{(n-1)^{n-2}}{(n-2)^{n-2}}\cdots\frac{4^3}{3^3}\cdot\frac{3^2}{2^2}\cdot\frac{2^1}{1^1} < e^n <\frac{(n+1)^{n+1}}{n^{n+1}}\cdot\frac{n^{n}}{(n-1)^{n}}\cdot\frac{(n-1)^{n-1}}{(n-2)^{n-1}}\cdots\frac{4^4}{3^4}\cdot\frac{3^3}{2^3}\cdot\frac{2^2}{1^2},
\]
化简得
\[
\frac{(n+1)^n}{n!} < e^n < \frac{(n+1)^{n+1}}{n!}.
\]
这推出
\[
\begin{split}
&(\frac{n+1}{e})^n < n! < (\frac{n+1}{e})^{n}\cdot(n+1)\\
\Rightarrow\ &\frac{n+1}{e}<\sqrt[n]{n!}<\frac{n+1}{e}\cdot\sqrt[n]{n+1}\\
\Rightarrow\ &\frac{1}{e}\cdot\frac{n+1}{n} < \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} < \frac{1}{e}\cdot\frac{n+1}{n}\cdot\sqrt[n]{n+1},
\end{split}
\]
令 $n\rightarrow\infty$, 得
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}=\frac{1}{e}.
\]