问题及解答

\[
y'+P(x)y=Q(x)y^n.
\]

这里 $n\in\mathbb{R}$.

当 $n\neq 0,1$ 时, 这是一个一阶非线性 ODE.

[Hint] 应用变换 $u=y^{1-n}$, 可将其变为一个一阶线性 ODE.

设 $n\neq 0,1$. 显然 $y\equiv 0$ 是一个解.

假设 $y\neq 0$. 类似于 Riccati 方程 , 方程两边除以 $y^n$, 得

\[
\frac{y'}{y^n}+\frac{P(x)}{y^{n-1}}=Q(x),
\]

注意到 $(y^{1-n})'=(1-n)y^{-n}y'$, 故方程化为

\[
\frac{1}{1-n}(y^{1-n})'+P(x)y^{1-n}=Q(x).
\]

令 $u(x)=y^{1-n}(x)$, 则得到关于 $u$ 的一阶线性常微分方程:

\[
u'+(1-n)P(x)u=(1-n)Q(x).
\]